24 第十二章数项级数 数，若令 =1+2+.+(k=1,2,.,n), 则有如下分部求和公式成立： 含6或=(-a,o+(g-aa+.+(6+ (18) 证以"，=o1,4=0。-0-1(k=2,3,.,n)分别乘64(k=1,2,n),整 理后就得所要证的公式(18)， 0 推论（阿贝尔引理）若 (i)61,62,.,6.是单调数组； (i)对任一正整数k(1≤k≤n)有lo.1≤A(这里o。=",+.+"), 则记6=max{16l},有 |含s3h (19) 证由(i)知道 61-62,62-63,.,6a-1-6 都是同号的.于是由分部求和公式及条件()推得 =(e-a)o,(e,-a)om+(e-.o.te.o. ≤A|(e1-e2）+(62-e)+.+(en-1-6)|+A|enl =A|61-6n1+A|e.| ≤A(|6,|+2|8.I) ≤3eA. 0 现在讨论级数 Ea.b.=ab1+a282++a.6+. (20) 收敛性的判别法. 定理12.15（阿贝尔判别法）若{a.}为单调有界数列，且级数∑b。收敛， 则级数(20)收敛. 证由级数∑b.收敛，依柯西准则，对任给正数e,存在正数N,使当n>N时 对任一正整数p,都有 |宽<6 又由于数列{a.}有界，所以存在M>0,使1a.1≤M,应用(19)式结果可得到
53一般项级数 夕 这就说明级数(20)收敛. 0 定理12.16（狄利克雷判别法）若数列{a.}单调递减，且lima,=0,又级数 ∑b。的部分和数列有界，则级数(20)收敛. 证明方法类似于定理12.15，请读者自证. 由阿贝尔判别法知道，若级数Σ“。收敛，则下述两个级数： 总(p>0),Σ总 Vn+l 都收敛. 例3若数列{an}具有性质： a1≥4≥.≥a≥.，lima.=0, 则级数∑a,innx和∑a.cos nx对任何xe(0,2m)都收敛. 解因为 2in2分+含eo.树=n受+(m2-i血》+ +[ma+》-ina-》 -in(n+) 当xe(0,2m)时，in之0，故得到 合+含ow si训n+》x (21) 2sin克 所以级数∑cosx的部分和数列当x∈(0,2π)时有界，由狄利克雷判别法推得 级数∑a.cos nx收敛.同理可证级数∑a,sin na也是收敛的. 0 作为例3的特殊情形，我们知道级数 2血世和Σ地 对一切xe(0,2r)都收敛. 习 题 1.下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的： ) 2)(-)^本
26 第十二章数项级数 o)供兴 (4)(-1)in子： g: (6)Σ-"a(n+2: n+1 （)z(-39）: (8)( 2.应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性： )z品 (x>0): (2)zxa0,2m）(a0: (3)Σ(-1)on n 3.设a,>0,a>a1(n=1,2,.)且1ima,=0.证明级数 ∑(-1)-tot.+a2 n 是收敛的， 4.设P。,9,如(8)式所定义.证明：若∑“.条件收敛，则级数∑P.与Σg。都是发散的 5.写出下列级数的乘积： (会）（宫）a(么（会） &运秀服整玄言与么片地对收做，且它们的乘积等于玄片少 7重排级数工(~1)片，使它度为发散级数。 8.证明：领数2)口收敏 总练习题 1.证明：若正项级数∑“，收敛，且数列|“，}单调，则imu.=0 2.若级数∑a,与Σc.都收敛，且成立不等式 a≤6.≤c.(n=1,2,.), 证明级数Σb也收敛.若∑a,∑，都发散，试问∑6.一定发散吗？ 3.若四云=k0,且级数Σ6，绝对收敛，证明级数Σa,也收敛.若上述条件中只知道 Σb收敛，能推得Σa,收敛吗？ 4()设工4，为正项级数，且<1，能否断定工%收敏？
总练习恩 之 (2)对于级数工，有会1，能否断定级数工4，不地对收徽，但可能条件收徽： (3)设∑“，为收敛的正项级数，能否存在一个正数。，使得 m片e>0. niw 5.证明：若级数∑a.收敛，∑(b1-b,)绝对收敛，则级数∑ab,也收敛。 6.设a,>0,证明级数 2+a)1ta-(1*a可 是收敛的。 7.证明：若级数∑a与∑收敛，则级数∑a,b,和∑(a,+6,)2也收敛，且 （∑a.b)2≤∑a·∑， （(a,+.)t≤(a)t+(2)h
第十三章 函数列与函数项级数 §1一致收敛性 我们已经知道可以用收敛数列（或数项级数）来表示或定义一个数.本章将 讨论怎样用函数列（或函数项级数）来表示（或定义）一个函数，并研究这个函数 所具有的性质. 一函数列及其一致收敏性 单 ,f,.,f,. (1) 是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列.(1)也可简单地 写作 {f}或f.,n=1,2,. 设x。eE,以x。代人(1)可得数列 f(xo),f(x),.,f(xo),. (2) 若数列(2)收敛，则称函数列(1)在点。收敏，x。称为函数列(1)的收敛点.若数 列(2)发散，则称函数列(1)在点，发散.若函数列(1)在数集DCE上每一点 都收敛，则称(1)在数集D上收敛.这时D上每一点x,都有数列f(x)}的一个 极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列(1)的极 限函数.若把此极限函数记作∫，则有 limf(x)=fx),x∈D f(x)+f(x)(n+),x∈D. 函数列极限的c-W定义是：对每一固定的xeD,任给正数6，恒存在正数N (注意：一般说来N值的确定与e和x的值都有关，所以也用N(6,x)表示它们 之间的依赖关系)，使得当n>N时，总有 If (x)-f(x)I<6. 使函数列f}收敛的全体收敛点集合，称为函数列{f}的收敛域 例1设f.(x)=x°，n=1,2,.为定义在(-∞，+)上的函数列，证明它的 收敛域是(-1,1]，且有极限函数