§3平面曲线的孤长与曲率 本节定义光滑曲线的弧长，并用定积分给出弧长计 算公式 一、平面曲线的孤长 定义1设平面曲线C由以下参数方程表示： x=x(t),y=y(t),tela,B]. 如果x(t)与y(t)在a,B]上连续可微，且x'(t)与y(t) 不同时为零，则称C为一光滑曲线 前 返回
前页 后页 返回 定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示: x x t y y t t = = ( ), ( ), [ , ]. 如果 x t y t x t y t ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) 与 在 上连续可微 且 与 不同时为零，则称 C 为一光滑曲线. §3 平面曲线的弧长与曲率 本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式. 一、平面曲线的弧长 返回
定义2设平面曲线C由参数方程 x=x(t),y=y(t),tela,B] 表示.对[a,B]的一个分割 T:a=to<<.<t=B,T=max(At) 相应地对C有一个分割，即C上有分点 A=P,P1,.,Pn=B. 若HmP.引=s存在，则称曲线C是可求长的， 并定义该极限值s为曲线C的弧长： 前顶
前页 后页 返回 定义2 设平面曲线 C 由参数方程 x x t y y t t = = ( ), ( ), [ , ] 0 1 : , max(Δ ) n i i T t t t T t = = = ， 1 0 1 lim , , n i i T i 若 P P s C − 存在 则称曲线 是可求长的 → = = 表示.对[ , ] 的一个分割 相应地对 C C 有一个分割,即 上有分点 0 1 , , , . A P P P B = = n 并定义该极限值 s C 为曲线 的弧长
注可以证明，极限im∑PP引与参数方程的表 i1 示方式无关 定理10.1（光滑曲线弧长公式）设曲线C由参数方 程x=x(t),y=y(t),t∈[a,B]表示.若C为一光滑 曲线，则C是可求长的，且弧长为 s=∫2x20+y20d6. 前页 返回
前页 后页 返回 曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为 2 2 s x t y t t ( ) ( ) d . = + 定理10.1 (光滑曲线弧长公式)设曲线 C 由参数方 1 0 1 , lim n i i T i P P− → = 注 可以证明 极限 与参数方程的表 示方式无关. 程 x x t y y t t = = ( ), ( ), [ , ] . 表示 若C为一光滑
证设[a,B]的任一分割 T:a=t<t1<.<tn-1<tn=阝. 在1，]上由微分中值定理， x,=x(G)-x(t-)=x'(5),5:∈x-1,x, y:=y(t)-y(t)=y'(n)△t,7:∈x-1,x 于是 2PP=立a+a9 前页 返
前页 后页 返回 Δ 1 1 ( ) ( ) ( )Δ , [ , ]. i i i i i i i i y y t y t y t x x = − = − − 于是 2 2 1 1 1 n n i i i i i i P P x y − = = = + : . T = t 0 t 1 tn−1 tn = 证 设[ , ] 的任一分割 1 [ , ] , i i t t 在 − 上由微分中值定理 Δ 1 1 ( ) ( ) ( )Δ , [ , ], i i i i i i i i x x t x t x t x x − − = − =
-2r+n -2)++ 5)+r产0422+94 由于Vx2()+y()在a,1上连续，从而可积， 因此 传)+J2⑤出=-0+y阳m 前页 返回
前页 后页 返回 2 2 1 ( ) ( )Δ n i i i i x y t = + 2 2 1 ( ) ( )Δ . n i i i i x y t = − + 2 2 由于 x t y t ( ) ( ) [ , ] + 在 上连续,从而可积， = = + n i i i i x y t 1 2 2 ( ) ( ) = + + = n i i i i x y t 1 2 2 ( ) ( ) 因此 2 2 2 2 0 1 lim ( ) ( )Δ ( ) ( ) d . n i i i T i x y t x t y t t → = + = +