多1一致收敏性 29 -8: 3】 证任给6>0（不妨设8<1），当0<1x1<1时，由于 If (x)fx)=Ix", In s 只要取N8,)=n是，当n>N(e,)时，就有 If (x)-f(x)I<a 当x=0和x=1时，则对任何正整数n,都有 1f(0)-f0)1=0<e,1f(1)-f1)l=0<6 这就证得f}在(-1,1]上收敛，且有(3)式所表示的极限函数. 当1x1>1时，则有1x”++0（n→o),当x=-1时，对应的数列为 -1,1,-1,1,. 它显然是发散的.所以函数列{x}在区间(-1,1]外都是发散的. 0 例2定义在(-0，+0)上的函数列f(x)血世，n=1,2,.由于对任何 n 实数x,都有 |恤÷ 放对任给的6>0，只要=二·就有 inn账-0<e 】n 所以函数列他。}的收敛坡为无限区间(-+)，极限函数)=0。口 对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极 限函数所具有的解析性质.比如能否由函数列每项的连续性判断出极限函数 的连续性.又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的 极限.对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D上的收敛是不够的，必须对 它在D上的收敛性提出更高的要求才行，这就是以下所要讨论的一致收敛性 问题. 定义1设函数列{f。}与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数6， 总存在某一正整数N,使得当n>N时，对一切xeD,都有 If.(x)-f(x)I<s. 则称函数列f}在D上一致收敛于f,记作 f(x)fx)(n→∞)，x∈D
30 第十三掌函数列与函数项级数 由定义看到，如果函数列{fI在D上一致收敛，那么对于所给的6，不管D 上哪一点x,总存在公共的N(e)(即N的选取仅与6有关，与x的取值无关)， 只要n>W,都有 If(x)-fx)1<6. 由此看到函数列∫}在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛.反之，在D上每 一点都收敛的函数列{f},在D上不一定一致收敛， 如上述例2中面数列血閂对任给正数e,不管取(-，+)上什么 值，都可取N=(它仅依赖于&的值)，当aN时，恒有恤e,所以函数列 {他門在(-0+)上一致收敛于函数)=0， 函数列f}在D上不一致收敛于函数f,是指它们不满足定义1的条件.但 也可以根据定义1对不一致收敛给予正面的陈述.即函数列(1)在D上不一致 收敛于f的充要条件是：存在某正数6。，对任何正数N,都有D上某一点x'与正 整数'>N(注意：x'与n'的取值与N有关)，使得 lf(x)-fx)1≥8o 从前面例1中知道，函数列1x}在(0,1)上收敛于f(x)=0.我们证明它在 (0,1)上不一致收敛，事实上，令6=2，对任何正数N,取正整数n>N+1及= (e(0,1,则有 1“-01=1-片≥2 函数列(1)一致收敛于f,从几何意义上讲：对任何正数￡，存在正整数N, 对于一切序号大于N的曲线y=f(x),都落在以曲线y=f(x)+e与y=f(x)-E 为边（即以曲线y=f(x)为“中心线”，宽度为2e)的带形区域内（如图13-1 所示). 函数列{x”}在区间(0,1)内不一致收敛，从几何意义上讲：对于某个事先 给定的e(0<e<1),无论N多么大，总有曲线y=x”(n>N)不能全部落在以 y=e与y=一6为边的带形区域内，如图13-2所示.若函数列{x}只限于在区 间(0.6)(6<1)内讨论，容易看到，只要心品（其中0<e<),曲线y=x就 全部落在以y=6和y=-e为上下边的带形区域内.所以{x}在(0，b)内是 致收敛的
1一致收敏性 31 J)e 77 图13-1 图13-2 定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列{f}在数集D上一致收 敛的充要条件是：对任给正数e,总存在正数N,使得当n,m>N时，对一切xeD, 都有 If,()-f (x)I<s. (4) 证[必要性]设f(x)f(x)(n+∞)，x∈D,即对任给6>0，存在正数 N,使得当n>N时，对一切xeD,都有 .()-x)l<号 (5) 于是当n,m>N,由(5)就有 If,(x)-f.(If.(x)-f(x)+If(x)-f (x)I <号+号=e [充分性]若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，f}在D上任一点都 收敛，记其极限函数为f(x),eD.现固定(4)式中的n,让m+o,于是当 n>N时，对一切x∈D都有 lf(x)-fx)|≤& 由定义1，f(x)(x)(n∞)，xeD. ◇ 根据一致收敛定义可推出下述定理： 定理13.2函数列{f}在区间D上一致收敛于∫的充要条件是： m8()-f)|=0. (6) 证【必要性]若f(x)f(x)(n+∞)，xeD.则对任给的正数6，存在 不依赖于x的正整数N,当n>N时，有 lf.(x)-fx)l<6,x∈D. 由上确界的定义，亦有
32 第十三章函数列与函数项级数 gl/(x)-fx)l≤c. 这就证得(6)式成立. [充分性]由假设，对任给6>0，存在正整数N,使得当n>N时，有 sug lf.()-f)1<e. (7) 因为对一切xeD,总有 (x)-x)|≤εf()-)l, 故由(7)式得 lf.(x)-fx)|<8. 于是{}在D上一致收敛于￡ ◇ 在判断函数列是否一致收敛上定理13.2更为方便一些（其缺点是必须事先 知道它的极限函数)，如例2，由于 恤匹-0=0， 所以在(-，+)上，血0() 推论函数列{∫}在D上不一致收敛于∫的充分且必要条件是：存在 {x,}CD,使得f(x)-fx)}不收敛于0. 例3设f(x)=nxe,xeD=(0,+o),n=1,2,.判别{f.(x)}在D上的 一致收敛性. 解对任意xe(0,+m),limnze=0=f(x). 在(0，+0)上，每个nxe只有一个极大值点x,= 六周思，(e1=及，因此 =15 =10 由定理13.2可知{f}在D上不一致收敛于f(见图 13-3) 为避免求上确界，亦可取名=片(0，+)，则 fi(x,)=e÷-1≠0(n→0)，因此由推论同样可知 图13-3 {f}在(0，+o)上不一致收敛于f(x). 0 定义2设函数列{f.}与f定义在区间I上，若对任意闭区间[a,b]CI, f}在[a,b]上一致收敛于f,则称{f}在1上内闭一致收敛于￡ 注：若1=[a,B]是有界闭区间，显然{f}在1上内闭一致收敛于∫与f}在 1上一致收敛于f是一致的. 例1中函数列在[0,1)上不一致收敛于，但对任意>0,1≤
1一致收敏性 33 8°→+0(n→)，因此f}在[0,1)上内闭一致收敛 例3中函数列{f.}在(0，+∞)上不一致收敛于0，但对任意[a,b]C(0,+0), 盟，nxe1≤be0(一o),因此.1在(0，+m)上内闭一致收敛于0. 二函数项级数及其一致收敏性 设{“(x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式 4(x)+42(x)+.+4(x)+.,x∈E ·(8) 称为定义在E上的函数项级数，简记为∑u.(x)或Σu.(x).称 (9) 为函数项级数(8)的部分和函数列， 若x。∈E,数项级数 4,(）+山2(o）+.+u()+. (10) 收敛，即部分和S,()=∑“()当n→四时极限存在，则称级数(8)在点 收敛，称为级数(8)的收敛点.若级数(10)发散，则称级数(8)在点。发散。 若级数(8)在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数(8)在D上收敛.若D为 级数(8)全体收敛点的集合，这时则称D为级数(8)的收敛域.级数(8)在D上 每一点x与其所对应的数项级数(10)的和S(x)构成一个定义在D上的函数， 称为级数(8)的和函数，并写作 山，(x)+42(x)+.+u(x)+.=S(x),xeD, limS(x)=S(x),x∈D. 也就是说，函数项级数(8)的收敛性就是指它的部分和函数列(9)的收 敛性 例4定义在(-，+∞)上的函数项级数（几何级数） 1+x+x2+.+x"+. (11) 的部分和函数为S.()-兰当11<1时， s(x)=lim5.(x)= 所以几何级数(11)在(-1,1)内收敛于和函数s(x)=:当x≥1时，几何级 数是发散的， 0 定义3设{S(x)是函数项级数∑“.(x)的部分和函数列.若1S(x)}在