多3一般项级数 19 41-42+43-4+.+（-1)4,+.(4。>0,n=1,2,.),(1) 则称(1)为交错级数. 对于交错级数，有下面常用的判别法. 定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数(1)满足下述两个条件： (i)数列{u.}单调递减 (i)lim4,=0, 则级数(1)收敛. 证考察交错级数(1)的部分和数列{S},它的奇数项和偶数项分别为 S2-1=41-(42-43)-.-（山2a-2-42m-i）, S2n=(41-42）+(43-uu）+.+(42a-4-42n) 由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的，从而数列{S1}是递诚 的，而数列{S2}是递增的.又由条件()知道 0<S2-1-S2m=42m→0(m→o）, 从而{[S2,S2-]}是一个区间套.由区间套定理，存在惟一的一个数S,使得 lim Sam-=lim Sam =S. 所以数列{S}收敛，即级数(1)收敛. 0 推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数(1)的余项估计 式为 |Rn|≤. 对于下列交错级数应用莱布尼茨判别法检验，容易检验它们都是收敛的. 1-z++.+(-1) n+t.; (2) 1 1 1 137+7+.+(-)2n-1)+. (3) 60+00+.+(-)"0+. (4) 二绝对收敛级数及其性质 若级数 (5) 各项绝对值所组成的级数 ||+12+.+u.|+. (6) 收敛，则称原级数(5)为绝对收敏级数。 定理12.12绝对收敛级数一定收敛， 证由于级数(6)收敛，根据级数的柯西收敛准则，对任意正数6，总存在正 数N,使得对n>W和任意正整数r,有
20 第十二章数项级数 um+lum2++lumr<6. 由于 |t+2+.+4nl≤|4|+|2|+.+||<8， 因此由柯西收敛准则知级数(5)也收敛. 0 对于级数(5)是否绝对收敛，可引用正项级数的各种判别法对级数(6)进行 考察 例1级数 公紧好+.+中 的各项绝对值所组成的级数是 =lal+lal 应用比式判别法，对于任何实数α都有 ==0, 因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛. 0 若级数(5)收敛，但级数(6)不收敛，则称级数(5)为条件收敛级数. 例如级数(2)是条件收敛，而级数(3)、(4)则是绝对收敛. 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类. 下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质. 1.级数的重排 我们把正整数列{1,2，.，n,.}到它自身的一一映射f:n→k(n)称为正整 数列的重排，相应地对于数列fu,按映射F:,→“所得到的数列{“}称为 原级数的重排.相应于此，我们也称级数∑“是级数(5)的重排.为叙述上的 方便，记，=“，即把级数 名“)写作 和+2+.+巴。+. (7) 定理12.13设级数(5)绝对收敛，且其和等于S,则任意重排后所得到的级 数(7)也绝对收敛，且有相同的和数。 证先假设级数(5)是正项级数，用S。表示它的第n个部分和.现以 可三1+2++影。 表示级数(7)的第m个部分和.因为级数(7)为级数(5)的重排，所以每一(1≤k≤m)都 等于某一4，(1≤k≤m).记 n=mau,d,., 则对任何m,都存在n,使o.≤S
多3一般项级数 21 由于imS.=S,所以对任何正整数m都有g.≤S,即得级数(7)收敛，且其和。≤3 由于级数(5)也可看作级数(7)的重排，所以也有S≤c,从而推得。=S. 若级数(5)是一般项级数且绝对收敛，则由级数(6)收敛及上述证明可推得级数Σ1，！ 也收敛，即级数(7)是绝对收敏的. 最后证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.为此，令 l兰 当4.≥0时，P.=.≥0,9.=0；当4.<0时，P.=0,9.=u,1=-u,≥0.从而有 0≤P。≤141,0≤g。≤4n1, (9) Pn+gn=|4,1,P。-9。= (10) 因为级数(5)绝对收敛，故由(9)知道Σp,9.都是正项的收敛级数.再由定理12.2可得 S=∑4n=∑P。-∑qa 对于级数(5)量排后所得到的级数(7)，也可按(8)式的办法，把它表示为两个收敛的正项级 数之差 ∑，=Ep-∑g, 其中∑p:,∑q分别是ΣP,∑g。的重排，前面已经证明收敛的正项级数重排后，它的和不 变，从而有 ∑，=∑p-∑g=∑p.-∑9.=S 0 注意：由条件收敛级数重排后所得到的新级数，即使收敛，也不一定收敛于 原来的和数.而且条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事 先指定的数.例如级数(2)是条件收敛的，设其和为A,即 含(-1)"合1合+号安+方+片言+= 乘以常数后，有 子(-1)“片分安+g官+.分 将上述两个级数相加，就得到 1+-++片-+.=24 2.级数的乘积 由定理12.2知道，若∑“。为收敛级数，a为常数，则 a∑u.=∑au。, 由此立刻可以推广到收敛级数∑“，与有限项和的乘积，即
22 第十二章数项级数 现在讨论在什么条件下能把它推广到无穷级数之间的乘积上去？ 设有收敛级数 ∑u.=山1+u2+.+un+.=A, (11) ∑Dn=形，+02t.+tn+.=B. (12) 把级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下表： 11 412413 41。 21 2 2" 432 (13) . 这些乘积“，可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或按对 l D2-M u.D-u0. 603··· 图12-1
53一般项级数 23 角线顺序（图12-1所示）依次相加，于是分别有 1"+2+22+2,+13+23+33+42+431+.（14) 和 41+1"2+山2+山13+山22+山3+. (15) 定理12.14（柯西定理）若级数(11)、(12)都绝对收敛，则对(13)中所有 乘积“心，按任意顺序排列所得到的级数∑w。也绝对收敛，且其和等于AB. 证以S。表示级数Σ1w,的部分和，即 S。=111+12|+.+,|. 其中=4%(k=12,.n),记 =maxi,方.， A。=4|+|42|+.+|4., B。=y1+1l+.+1.1, 则必有 S。≤AB. (16) 由定理条件，级数(11)与(12)都绝对收敛，因而∑1,1与Σ1,1的部分和数列1A1和1B,1都 是有界的.于是由不等式(10)知1S}是有界的，从而级数Σ，绝对收敛. 由于绝对收敛级数具有可重排的性质，也就是说级数的和与采用哪一种排列的次序无 关.为方便求和，采取级数(14)（按正方形顺序）并对各被加项取括号，即 4+（++）+(西鸭+巧+4斯+巧+凸)+“， 把每一括号作为一项，得新级数 +P++.+P+ (17) 它与级数∑0，同时收敛，且和数相同.现以P。表示级数(17)的部分和，它与级数(11)，(12) 的部分和A,与B。有如下关系式： P.=A.B. 从而有 limP.limA.B.limA.limB.=AB. 例2等比级数 1-,=1+r++.+r+.,11<1 是绝对收敛的.将（Σ）2按(15)的顺序排列，则得到 0-可=1+(r+）+(?+产+)+.+（心+.+5）+ 1 =1+2r+372+.+(n+1)r”+. 三阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式： 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）设6，(i=1,2,.,n)为两组实