14 第十二章数项级数 m石，=lim 所以由根式判别法，该级数收敛. 0 三积分判别法 积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对 象来判断正项级数的敛散性， 定理12.9设f为[1，+∞)上非负减函数，那么正项级数∑f(n)与反常积 分∫广x)d同时收敛或同时发散。 证由假设f为[1，+∞)上非负诚函数，对任何正数A,f在[1，A]上可积， 从而有 n)≤x)≤n-1),n=2,3,. 依次相加可得 盒)≤恤≤盒-=名 (14) 2 若反常积分收敛，则由(14)式左边，对任何正整数m,有 s.·Aa)≤1)+✉≤)+) 根据定理12.5，级数∑f八n)收敛. 反之，若f八n)为收敛级数，则由(14)式右边，对任一正整数m(>1)有 a)s≤s≤2n)-s (15） 因为(x)为非负诚函数，故对任何正数A,都有 0≤x)d≤S.<S,n≤A≤n+1. 联系(15)式及定理1山.2得反常积分广fx)比收敛 用同样方法，读者可以正明2)与广九)出是同时发散的 0 例11讨论p级数∑的敛散性. 解函数)宁，当p>0时在[，+m)上是非负减函数由第十一索51 例3知道反常积分广号在p>1时收敛，P≤1时发散故由定理129每Σ当
多2正项级数 15 p>1时收敛，当0<p≤1时发散.至于p≤0的情形，则可由定理12.1推论知道它 也是发散的. 0 例12讨论下列级数 () atdn:(((i 的敛散性 解研究反常积分广”一： :(a动，由于 忠器告 dx 当p>1时收敛，p≤1时发散.根据定理12.9知级数(i)在p>1时收敛，p≤1 时发散。 对于()，考察反餐积分厂xnin同样可推得级数()在p> dx 时收敛，在p≤1时发散 ·四拉贝判别法 比式判别法和根式判别法是基于把所要判断的级数与某一等比级数相比较的想法而得 到的，也就是说，只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数，这 两种方法才能鉴定出它的收敛性.如果级数的通项收敛速度较慢，它们就无能为力了，因此为 了获得判别范图更大的一类级数，就必须寻找级数的通项收敛于零较慢的级数作为比较 标准 以p级数为比较标准，得到拉贝(Raabe)判别法，现介绍如下： 定理1210（拉贝判别法）设∑“，为正项级数，且存在某正整数N,及常数， (i)若对一切n>M。,成立不等式 1）≥r>1 则级数∑“，收敛； ()若对一切n>N。,成立不等式 1-≤1， 则级数∑“，发散 正(0由-兰≥r可得1-÷选p使1p由于 -,出s-4 n 因此，存在正数N,使对任意n>N
16 第十二章数项级数 片>1-(1-) 这样 <1-(-(1-)-(-a)'=(） 于是，当n>N时就有 安会. UN (='(' -(N-1. 当p>1时，Σ收敛，故级数Σ，是收敛的。 ()由-之≤1可得号1-日-丹，于是 % =行购 因为∑一发散，故Σ出，是发散的。 ◇ 推论（拉贝判别法的极限形式）设∑4，为正项级数，且极限 -）=r 存在，则 (i)当r>1时，级数Σu.收敛； （i)当r<1时，级数∑“.发散. 例13讨论级数 [2 (16) 当s=1,2,3时的敛散性. 解无论=1,2,3哪一值，对级数(16)的比式极限，都有 lim =1. 所以用比式判别法无法判别级数(16)的敛散性.现在应用拉贝判别法来讨论，当s=1时， 由于 1-)·-0+2“2n+2→z（m一m
2正项级数 17 所以级数(16)是发散的.当=2时，由于 -剖=-（门-》<1. 由定理12.10拉贝判别法可知级数(16)发散.当s=3时，由于 劉-（层门2一号 所以级数(16)收敛 0 从上面看到，拉贝判别法虽然判别的范围比比式判别法或根式判别法更广泛，但当=！ 时仍无法判别而从例12应该可以得出这样得结论：没有收敛得最慢的收敛级数.因此任何 判别法都只能解决一类级数的收敛问题，而不能解决所有级数的收敏问题。当然我们还可以 建立比拉贝判别法更为精细有效的判别法，但这个过程是无限的， 习题 1.应用比较原则判别下列级数的敛散性：· (1)2 (2)∑2"im无 ) 1 )宫： (5)1-o日)： (6)1 (7)Σ(a-1)(a>1)； (8)名m 1 (9)Σ(a÷+a÷-2)(a>0): o)2 2.用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性： wz3-业， a)2a, (3)(: (4)Σ 5)受 (6)z:m则， n (7)(合)”（其中a.a(am),46,>0,且a≠b). 3.设∑“.和∑为正项级数，且存在正数N。,对一切n>N,有 芒学 证明：若级数∑，收敏，则级数∑弘，也收敛：若∑“，发散，则∑，也发散 4.设正项级数∑a.收敛，证明∑：亦收敛：试问反之是否成立？ 5.设a,≥0，n=1,2,.且lna,l有界，证明∑a收敛
第十二章数项级数 6.设级数Σ2收敛，证明Σ号(a,0)也收敛。 7.设正项级数Σ“.收敛，证明级数∑√a“也收敛 8.利用级数收敛的必要条件，证明下列等式： ()四=0： 2)=2a=0(a. 9.用积分判别法讨论下列级数的敛散性： w: (2)2 (g)名nn(可 (d)名nnn 10.判别下列级数的敛散性 w会票 (2)(a1: 3)z典 4子， ), 6): (7)2a+w01+)-1+*（0). 1.设1a,为递减正项数列，证明：级数∑。.与Σ2”a4同时收敛或同时发散。 12.用拉贝判别法判别下列级数的敛散性： w)· （2)Σ+0+2-(gn（>0) 13.用根式判别法证明级数∑2”收敛，并说明比式判别法对此级数无效， 14.求下列极限（其中p>1): )=an*a2**2: a=(信+高+) 15.设a,>0,证明数列1(1+a,)(1+a2)(1+a,)}与级数∑a,同时收敛或同时发散. §3一般项级数 上节我们讨论了正项级数的收敛性问题，关于一般数项级数的收敛性判别 问题要比正项级数复杂，本节只讨论某些特殊类型的级数的收敛性问题， 一交错级数 若级数的各项符号正负相间，即