2正项级数 9 是发散的。 因为 lim 1 根据推论以及调和级数Σ二发散，所以级数∑s血也发散 0 二比式判别法和根式判别法 根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他 级数的敛散性本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的。 定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设Σ“为正项级数，且存 在某正整数N。及常数g(0<g<1). (i)若对一切n>W。,成立不等式 “以么4， (7) 则级数∑“.收敛。 (i)若对一切n>W。,成立不等式 “≥1， (8) 则级数∑4.发散. 证（i)不妨设不等式(7)对一切n≥1成立，于是有 经≤9片≤，总≤g, 把前n-1个不等式的左边及右边分别相乘后，得到 冬片.品 或者 “≤4,9 由于当0<g<1时，等比级数∑9收敛，根据比较原则可推知级数Σ“，收敛. (i)由于n>N。时成立不等式(8)，即有 4l≥n≥4。 于是当n→0时，4.的极限不可能为零.由定理12.1推论知级数Σ4。是发散的. 0 推论1（比式判别法的极限形式）若∑“.为正项级数，且 g (9)
10 第十二章数项级数 单 (i)当q<1时，级数∑“.收敛； （i)当g>1或q=+∞时，级数∑4.发散. 证由(9)式，对取定的正数e=之1-9l,存在正数N,当n>W时，都有 9-6<<g+6 当g<1时，9+e=(1+9)<1由上述不等式的右半部分及定理27的()，推得 级数∑“，是收敛的. 当9>1时，9-8=之(1+9)>1，由上述不等式的左半都分及定理127的()， 推得级数∑山，是发散的. 当g=+oo时，则存在N,当n>N时有 出>1， u。 从而m“,≠0，所以这时级数Σ山，是发散的， 0 例4设级数 子+3+g+.+-牛册+ 由于 2+3n_3 根据推论1，上述级数是收敛的. ◇ 例5讨论级数∑nx1（x>0)的敛散性， 解因为 .() 4。 根据推论1，当0<x<1时级数收敛；当x>1时级数发散；而当x=1时，所考察的 级数是∑n,它显然也是发散的. 0 若(9)中g=1,这时用比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可 能是收敛的，也可能是发散的.例如级数Σ之和Σ元，它们的比式极限都是 →1(n→0)， 但2是收敛的(51例5)，而Σ片却是发散的(31例3)
多2正项级数 11 若某级数的(9)式的极限不存在，则可应用上、下极限来判别， 推论2设∑“，为正项级数. ()）若画=g<1,则级数收敛： (国者二苦，则级数发散 读者可仿照推论1的方法证明本推论。 例6讨论级数 1+b+bc+b2c+bc2+.+bc-1+bc+. (10) 的敛散性，其中0<b<c 解由于 兰-化秀技感 故有 于是，当c<1时，级数(10)收敛，当b>1时，级数(10)发散；但当b<1<c时，比式判别法无法判 断级数(10)的敛散性。 0 定理12,8（柯西判别法，或称根式判别法）设∑4.为正项级数，且存在某 正数N。及正常数1， （i)若对一切n>N。,成立不等式 m,≤l<1, (11) 则级数∑山，收敛； (i)若对一切n>N。,成立不等式 Vm,≥1， (12) 则级数∑“，发散， 证由(11)式有 u。≤". 因为等比级数∑当0<<1时收敛，故由比较原则，这时级数∑“。也收敛，对于 情形()，由(12)式可推得 4.≥1”=1. 当→∞时，显然“，不可能以零为极限，因而由级数收敛的必要条件可知，级数 ∑“。是发散的. 0 推论1（根式判别法的极限形式）设Σ“.为正项级数，且 m沉.=， (13)
12 第十二章数项级数 (i)当k1时，级数Σw.收敛； (i)当>1时，级数∑u.发散 证由(13)式，当取8<11-l1时，存在某正数N,对一切n>W,有 l-8<u.<l+8. 于是由定理12.8就能得到这个推论所要证明的结论 0 例7研究级数Σ24：1八的敛散性， 2" 解由于 派=+亚=分 2 所以级数是收敛的 0 若在(13)式中1=1，则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断.例如， 对Σ品和Σ，都有 √a→+1(n+∞). 但Σ是收敛的，而Σ却是发散的。 若(13)式的极限不存在，则可根据根式瓜的上极限来判断 推论2设∑4，为正项级数，且 lim yu =l. 则当 (i)<1时级数收敏： ()b1时级数发散， 本推论的证明可仿照推论】的证法进行. 例8考察级数 b+e+b2+e2+.+b+e+. 的敛散性，其中0<b<c<1. 解·由于 次=e)法-6， (m→) (b)点→6 lim yu = 因此级数是收敛的.但若应用比式判别法，则由于 画m云+
多2正项级数 =-0<h, 则无法应用定理12.7推论2判断其收敛性. 读者已从第二章总练习题4(7)知道，若 =9 则必有 lm石=g 这说明凡能由比式判别法鉴别收敛性的级数，它也能由根式判别法来判断，而且 可以说，根式判别法较之比式判别法更有效.例如，级数Σ2+(：)由于 2 3 22n可 1 22 故由比式判别法无法鉴别此级数的收敛性.但应用根式判别法来考察这个级数 (例7)，可知此级数是收敛的. 例)讨论级数名千产的敛散性，其中D0. 解因为m+=max1,2},所以 "”」 ∫1，x≠1， ▣=▣i+i,= 于是，当x≠1时，原级数收敛，当x=1时，原级数发散. 0 创0判别下列级数的敛散性()名片，《名2+ 解(i)因为 一·器- (n+1)2 lim[(n+1)l门.2nm=lim72ntD2nt2)4<1， 所以由比式判别法，该级数收敛。 （)因为