4 第十二章数项级数 立，所以调和级数是发散的. 0 创4判别级数+ 一的敛散性 台n+年 所以由推论得知该级数发散， 0 例5应用级数收敛的柯西准则证明级数Σ之收敛. 证由于 |“1+“2+.+uawl 1 1 1 "(m++m+2++m+p 1 1 <m(m+1)(m+1)(m2mp-)(mp) s11 m·m+p 因此，对任给正数e,取N=日，使当>N及对任意正整数p,由上式就有 +a++wl<后<a 依定理12.1推得级数Σ是收敛的 ◇ 从侧5的证明过程可知，2+也是收敛级数， 定理12.2若级数∑“，与∑p.都收敛，则对任意常数c,d,级数∑(cu,+ d)亦收敛，且 ∑(cw.+d,)=c∑u.+d∑" 由定理12.1，级数∑“，的敛散性取决于：对任给正数8，是否存在充分大的 正数W,使得当n>N及对任意正整数p恒有(6)式成立.由此可见，一个级数是 否收敛与级数前面有限项的取值无关.从而我们可得到以下定理： 定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. 由此定理知道，若级数名“，收敛，其和为S,则级数 +1+“好+. (8)
章上级数的收敛性 5 也收敛，且其和R=S-S。,(8)式称为级数∑w.的第n个余项（或简称余项），它 表示以部分和S。代替S时所产生的误差。 定理124在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不 改变它的和. 证设Σ4.为收敛级数，其和为S.记 "1=1+.+u,=山++，.， =“-+.+ 现在证明工加括号后的级数含（么++）一含，他收敛，且其和也 是5.事实上，设5，}为收敛级数∑“，的部分和数列，则级数Σ的部分和数列 {S}是{S}的一个子列.由于{S}收敛，且1imS.=S.故由子列性质，1S}也收 敛，且mS,=S,即级数Σ，收敛，且它的和也等于S 0 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛.例如 (1-1)+(1-1)+.+(1-1)+.=0+0+0+.=0 收敛，但级数 1-1+1-1+. 却是发散的 例6判别级数 11 万万1万中+的敛散性. 1 1 解考忠加了括号后的级数 信动高动名动 1 其-般项“高寻由例3及定理卫2知道，级数名， 】 2 2店。占=2宫日发散，从而根据定理24，原级数发散 0 习 题 1.证明下列级数的收敛性，并求其和： 1 (1)6*名m+.i6*+5n-4(sn*n*n. 2)(分+）宗+)*.会+)+： (3)会0+in+可
6 第十二章数项级数 (4)(+2-2*T+): 6)含兴 2.证明：若级数∑4，发散，c≠0，则∑c出，也发散. 3.设级数Σu,与∑，都发散，试问Σ(“，+"，)一定发散吗？又若“.与。（n=1,2,.) 都是非负数，则能得出什么结论？ 4证明：者数列16收敏于a,则级数名(a 5.证明：若数列6，有mb.=0,则 (1)级数∑(b1-b.)发散： （2)当0时，最数安)-安 6.应用第4,5题的结果求下列级数的和： u)名a+nat可 e含amm可 2n+1 7.应用柯西准则判别下列级数的敛散性： )2; a)z0 3)zD, (4)ΣL 8.证明级数∑4，收敛的充要条件是：任给正数6，存在某正整数N,对一切>N总有 w+W41+.+.|< 9.举例说明：若级敦Σ“.对每个固定的p满足条件 im(“l+.+4n)=0, 此级数仍可能不收敛. 10、设级数工“，满足：加括号后级数(“1+.+“）收敛(n=0,且在同一括 号中的马1“.，“，符号相同，证明工品，亦收敛。 $2正项级数 一正项级数收敛性的一般判别原则 若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数.对于同号级数，只需研
2正项级数 > 究各项都是由正数组成的级数—称为正项级数.如果级数的各项都是负数，则 它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。 由于级数与其部分和数列具有相同的敛散性，所以首先得到如下定理。 定理12.5正项级数∑“.收敛的充要条件是：部分和数列|S}有界，即存 在某正数M,对一切正整数n有S,<M. 证由于u>0(i=1,2,.),所以{S,}是递增数列.而单调数列收敛的充 要条件是该数列有界（单调有界定理（定理2.9）).这就证明了本定理的结论. 0 定理12.6（比较原则）设Σ“.和Σ，是两个正项级数，如果存在某正数 N,对一切n>N都有 。≤v, (1) (i)若级数∑，收敛，则级数∑u。也收敛； ()若级数∑“.发散，则级数∑知.也发散. 证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此不妨设不等 式(1)对一切正整数都成立. 现分别以S:和S:记级数Σ“.与∑，的部分和.由(1)式推得，对一切正整 数n,都有 S:≤S%. (2) 若∑"，收敛，即1imS存在，则由(2)式对一切n有S:≤limS,即正项级数∑“。 的部分和数列{S:}有界，由定理12.5级数∑“，收敛.这就证明了(i):(i)为(i) 的逆否命题，自然成立. 0 例1考察工+的收敛佐 解由于当n≥2时，有 1 1 2-n+行≤2-nn(n-节≤n-1) 因为正项级数∑ a收敛(s1例5)，敬由定理126，级数22+也 1 1 收敛. 0 在实际使用上，比较原则的下述极限形式有时更为方便 推论设 出1+山2+.+山n+., (3) ,+2+.+。+. (4) 是两个正项级数，若
第十二章数项级数 四总=， (5) 则 (i)当0<l<+∞时，级数(3)、(4)同时收敛或同时发散： ()当1=0且级数(4)收敛时，级数(3)也收敛： ()当l=+∞且级数(4)发散时，级数(3)也发散 证对于(i),当0<l<+∞时，对任意正数8(e<),存在某正数N,当n>N 时，恒有 长-s 或 （l-e).<u.<(l+e)p. (6) 由定理12.6及(6)式可得级数(3)和(4)具有相同的敛散性. 对于()，当1=0时，由(6)式右半部分及比较原则可得：若级数(4)收敛， 则级数(3)也收敛. 对于()，若l=+o,即对任给的正数M,存在相应的正数N,当n>W时， 都有 或 u.>M. 于是由比较原则知道，若级数(4)发散，则级数(3)也发散， 0 例2级数 是收敛的， 因为 1 空品典片 、2” 2 以及等比级数工宁收敛，所以根据推论，级数工2也收敏 0 例3级数