公 且录 二用极坐标计算二重积分 249 85 三重积分 255 三重积分的概念 255 化三重积分为厚次积分 9 三 三重积分换元法 260 ⑧6重积分的应用 .265 曲面的面积.：*** 6的 质心 es 268 三转动惯量. 270 四引力. 272 ·7n重积分 274 ·8反常二重积分. 279 一无界区城上的二量积分 279 无界函数的二量积分 284 ·S9在一般条件下重积分变量变换公式的证明 285 第二十二章 曲面积分 293 §1第一型曲面积分 .293 一第一型曲面积分的概念 293 二第一型曲面积分的计算 293 S2第二型曲面积分 296 一曲面的侧. 296 第二型曲面积分的概念 297 三第二型曲面积分的计算 299 四两类曲面积分的联系 302 83高斯公式与斯托克斯公式 305 高折公式.305 二新托克斯公式 307 ·号4场论初步 场的概念 ,312 二梯度杨. 312 三散度场 .314 四旋度场. 316 五管量场与有势场 . .318 ·第二十三章向量函数微分学 .321 &1n维欧氏空间与向量函数 *321 n维欧氏空间 .321 二 向量函数. .323
录 三向量函数的极限与连续 .324 82向量函数的微分 可徽性与可微条件 .328 可撒函数的性质 .331 三黑赛矩阵与极值.心 .334 83反函数定理和隐函数定理 337 一反函数定理 337 二赡函数定理. 340 三拉格朗日乘数法. 343 习题答寨 .347 帝 引 366 人名索引. 370
第十二章数项级数 ⑧1级数的收敛性 初等数学知识告诉我们，有限个实数山1，“2，“，“，相加，其和一定存在并且 是一个实数，而无限个实数相加会出现什么结果呢？例如，在第二章提到《庄 子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的例中，把每天截下那一部分的 长度“加”起来： 之+京+宁+.+分+. 这就是“无限个数相加”的一个例子.从直观上可以看到，它的和是1.再如下面 由“无限个数相加”的表达式 1+(-1)+1+（-1)+. 中，如果将它写作 (1-1)+(1-1)+（1-1)+.=0+0+0+., 其结果无疑是0，如写作 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+.1+0+0+0+., 其结果则是1，因此两个结果完全不同.由此提出这样的问题：“无限个数相加” 是否存在“和”；如果存在，“和”等于什么？可见，我们对有限和的认识是无法完 全移植到“无限和”的，需要建立“无限和”自身的理论。 定义1给定一个数列{“.}，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 弘1+2+.+4+. (1) 称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中“，称为数项级数(1)的 通项或一般项。 数项级数()也常写作名“，或筒单写作Σ 数项级数(1)的前n项之和，记为 及=店4=出+%+.+品， (2) 称它为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和
2 第十二章数项级数 定义2若数项级数(1)的部分和数列{S,}收敛于S(即1imS。=S),则称 数项级数(1)收敛，称S为数项级数(1)的和，记作 S=41+42+.+4.+.或S=∑u, 若{S}是发散数列，则称数项级数(1)发散. 例1讨论等比级数（也称为几何级数） a+ag+ag2+.+aq°+. (3) 的收敛性(a≠0) 解q≠1时，级数(3)的第n个部分和 1-g 因此， 0当111时，=8=哥高兵时复()收敏，兴和为号 (i)当|g>1时，lms=m,级数(3)发散. (i)当9=1时，S=na,级数发散. 当g=-1时，S24=0,S2=a,k=0,1,2,.,级数发散. 总之，|g|<1时，级数(3)收敛；|g|≥1时，级数(3)发散. 例2讨论数项级数 12+23+.+n(n+1万+. (4) 的收敛性。 解级数(4)的第n个部分和 s品2+2++n0+n 1 》+(分》++（侣+动 1n+ 由于 8=1, 因此级数(4)收敛，且 2+2·3+.+n(n+i万+=1. 0 由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性）是由它的部分和数列{S.}来确 定，因而也可把级数(1)作为数列{S.}的另一种表现形式.反之，任给一个数列
多1级数的收敏性 3 {a},如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则这个数项级数就是 含.=4+(%-a)+(a-)++a.-t5 这时数列1a,!与级数(5)具有相同的敛散性，且当{a.}收敛时，其极限值就是级 数(5)的和. 基于级数与数列的这种关系，读者不难根据数列极限的性质推出下面有关 级数的一些定理。 定理12,1（级数收敛的柯西准则）级数(1)收敛的充要条件是：任给正数 e,总存在正整数W,使得当m>N以及对任意的正整数P,都有 m+l+um2+.tunp<B. (6) 根据定理12.1，我们立刻可写出级数(1)发散的充要条件：存在某正数80， 对任何正整数N,总存在正整数m,（>N)和Po,有 uo+1+uo*2+.+up0|≥E0: (7) 由定理12.1立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件 推论若级数(1)收敛，则 im“,=0. 当一个级数“，的一般项“，不收敛于零时，由推论可知该级数发散因 此，上述推论常用来判断级数的发散.但推论只是级数收敛的必要条件，不是充 分条件，即当一般项“。→0时，不能得出该级数收敛的结论.请看下例， 例3证明调和级数 1+分++.++ 是发散的 证由 4.==0, 无法用推论推出调和级数发散.但令P=m时，有 |n+a+.+-n++2+.+品 ≥六+六+.+六 1 因此由定理12.1，取。=2，对任何正整数N,只要m>N和p=m就有(7)式成