西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYXo1又 ()= ,而,的坐标是 .(Xon)XoXo?0= 0.于是从而(2,E-A)e=2:XonXonXon01即是线性方程组(2,E-A)X=0的解.0nYol.￥0,:(α,E-A)X=0有非零解文：5±0,Xon所以它的系数行列式2,E-A=0
而 0 的坐标是 01 0 0 , n x x 0 01 01 0 0 , n n x x A x x = 于是 0 又 ( ) = 0 01 0 ( ) 0. n x E A x − = 从而 01 0 0, 0, n x x 又 即 是线性方程组 的解， 01 0n x x 0 ( ) 0 E A X − = ∴ ( ) 0 0E A X − = 有非零解. 所以它的系数行列式 0 E A− = 0
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY以上分析说明：若,是的特征值，则,E-A=0.反之，若 αP满足α,E-A=0,则齐次线性方程组(α,E-A)X=0 有非零解若(xo1,Xo2,"…,Xon)是 (a,E- A)X = 0 一个非零解,则向量= +…+x，就是的属于,的一个特征向量
以上分析说明： 若 是 的特征值，则 0 E A− = 0. 0 反之，若 0 P 满足 0 E A− = 0, 则齐次线性方程组 ( ) 0 0E A X − = 有非零解. 若 ( , , , ) x x x 01 02 0n 是 ( ) 0 0E A X − = 一个非零解， 特征向量. 则向量 = + + x x 01 1 0n n 就是 的属于 0 的一个
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY1.特征多项式的定义设Aεpmn，是一个文字，矩阵E－A 称为A的特征矩阵，它的行列式-a-a2-a..-a," a-an ...-azn[ZE-A|=(a)t.. a-a..-a.-an2称为A的特征多项式（f(a)是数域P上的一个n次多项式)
设 , 是一个文字，矩阵 称为 n n A P E A − 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ( ) n n n n nn A a a a a a a E A a a a f − − − − − − − = − − − 称为A的特征多项式. 1. 特征多项式的定义 A的特征矩阵，它的行列式 （ fA ( ) 是数域P上的一个n次多项式）
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY注：①若矩阵A是线性变换θ关于V的一组基的矩阵，而,是α的一个特征值，则α是特征多项式fA(a)的根，即fA(α)=0.反之，若α,是A的特征多项式的根，则2就是α的一个特征值．（所以，特征值也称特征根）②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值而相应的线性方程组(aE-A)X=0 的非零解也就称为A的属于这个特征值的特征向量
② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 注：① 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵， 而 0 是 的一个特征值，则 是特征多项式 ( ) A 0 f 的根，即 0 ( ) 0. A f = 的一个特征值. 反之，若 0 是A的特征多项式的根，则 0 就是 （所以，特征值也称特征根.） 而相应的线性方程组 ( ) 0 E A X − = 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSIT2.求特征值与特征向量的一般步骤i)在V中任取一组基6,8,,,8,,写出α在这组基下的矩阵A。i)求A的特征多项式aE－A|在P上的全部根它们就是的全部特征值。i)把所求得的特征值逐个代入方程组(2E -A)X = 0并求出它的一组基础解系.（它们就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量在基8,8,，,8下的坐标
i) 在V中任取一组基 1 2 , , , n , 写出 在这组基下 就是 的全部特征值. ii) 求A的特征多项式 E A − 在P上的全部根它们 2. 求特征值与特征向量的一般步骤 的矩阵A . iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组 ( ) 0 E A X − = 的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.) 并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值 1 2 , , , n