首先讨论常数项级数 定义级数的部分和(即前n项和) S=x+x2+…+x=∑xkk=1,…,n 定义 1)如果级数∑xn的部分和数列{Sn} nE 收敛于有限项S即 lim s=s n→0 则称级数∑x收敛且称它的和为,记为=∑ 2)如果级数∑xn的部分和数列{Sn}发散, n-=1 即Sn没有极限则称级数∑xn发散
6 首先讨论常数项级数 定义级数的部分和（即前 n 项和） S x x x n n 1 2 1 n k k x k n 1, , 收敛于有限项 s 即 lim n n S s 定义 1）如果级数 的部分和数列 Sn 1 n n x 则称级数 收敛 且称它的和为 s . 1 n n x 记为 1 n n s x 2）如果级数 的部分和数列 Sn 1 n n x 发散， 即 Sn 没有极限 则称级数 发散。 1 n n x
注意1)级数的余项 oo n+1 +xm2+…=∑ k=n+1 2)给定∑x,总可以按S=∑x n=1 k=1 求得其部分和数列{Sn} 3)反之给定的数列{Sn}, 可令 =S,-S, 2 19 n-19 从而求得∑xn =
7 注意 1）级数的余项 n n r s S n n 1 2 x x 1 k k n x 2）给定 1 n n x ， 总可以按 1 n n k k S x 求得其部分和数列 . Sn 3）反之给定的数列 , Sn 可令 1 1 x S , 2 2 1 x S S , 1 , n n n x S S 从而求得 1 . n n x
例1、讨论几何级数的敛散性。 ∑mq"=a+mg+mq2+…+aq"+…(a≠0 解 <1 lims =lim a(1-q") q=1 由级数收敛定义得极限不存在q=1 当d<1时,级数∑ag”收敛; H=0 其和为 即∑a =0 oo 当≥1时,级数∑q”发散
8 例1、 讨论几何级数的敛散性。 解： lim n n S (1 ) lim 1 n n a q q 1 a q q 1 q 1 q 1 极限不存在 q 1 ∴ 由级数收敛定义得 当 q 1 时， 级数 0 n n aq 收敛； 其和为 , 1 a q 即 0 . 1 n n a aq q 当 q 1 时， 级数 0 n n aq 发散。 2 0 ( 0) n n n aq a aq aq aq a
如∑ 3 n}几何级数,且收敛, ∑ 2 但首项不同 ∑ n-=0 2、3a=1 3 2 n 2 ∑ 3 2 3 2 3 3 9
9 如 0 2 3 n n 1 2 3 n n 几何级数,且收敛， 但首项不同 a 1 0 2 3 n n 1 2 1 3 3 2 3 a 1 2 3 n n 2 3 2 1 3 2
无穷级数收敛性举例:Koch雪花。 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对称 的产生边长为原边长的13的小正三角形 如此类推在每条凸边上都做类似的操作 我们就得到了面积有限而周长无限的图形 “Koch雪花” 观察雪花分形过程:
10 无穷级数收敛性举例：Koch雪花。 做法: 先给定一个正三角形，然后在每条边上对称 的产生边长为原边长的1/3 的小正三角形， 如此类推在每条凸边上都做类似的操作， 我们就得到了面积有限而周长无限的图形 —— “ Koch雪花 ”． 观察雪花分形过程：