概率论与数理统计 广东工业大学 主讲教师:邱红兵 广东工业大
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55随机变量的函数的分布 离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 §5 随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布
、离散型随机变量函数的分布 设随机变量X的分布律为 PX=x}=Pi=1,2, 或xx1 求随机变量Y=g(X)的分布律。 方(1)求出随机变量所有可能的取值; 法(2)求出随机变量Y取每一个值的概率 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 一、离散型随机变量函数的分布 设随机变量X的分布律为 P X = xi = pi { } i = 1,2, n n P p p p X x x x 1 2 1 2 求随机变量 Y = g(X) 的分布律。 或 （1） 求出随机变量Y所有可能的取值； （2） 求出随机变量Y取每一个值的概率。 方 法
二连续型随机变量函数的分布 设连续型随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数F(x) r=8(X) 求随机变量的密度函数f(y)(或分布函数F(y)。 1、公式法 设连续型随机变量λ的密度函数∫(x),-0<x<+∞,又设 函数g(x)处处可导且恒有g(x)>0(或恒有g'(x)<0),则 Y=g(X) 是连续型随机变量,其概率密度为 frey) ∫f()(y)ba<y<B 其它 其中a=min(g(-∞),g(+∞),B=max(g(-∞),g(+0) 广东工业大 h(y)是g(x)的反函数
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 二、连续型随机变量函数的分布 Y = g(X) 设连续型随机变量X的密度函数 f (x) （或分布函数 F(x) ）， 求随机变量Y的密度函数 fY ( y) （或分布函数 FY ( y) ）。 1、公式法 Y = g(X) 函数 g(x) 处处可导且恒有 g'(x) 0 （或恒有 g'(x) 0 ），则 是连续型随机变量，其概率密度为 设连续型随机变量X的密度函数 f (x),− x +, 又设 0, 其它 [ ( )]| '( )|, ( ) f h y h y y f y Y 其中 = min(g(−), g(+)), = max(g(−), g(+)), h( y)是 g(x) 的反函数
二连续型随机变量函数的分布 设连续型随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数F(x) r=8(X) 求随机变量的密度函数f(y)(或分布函数F(y)。 分布函数法 积分上限函数的导数 g(r) d f(tdt Jh(x) fig(x)lg(x)-fth(rw(x) dx g(r) f(t)dt d x fig(x)g(x)
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 2、分布函数法 二、连续型随机变量函数的分布 Y = g(X) 设连续型随机变量X的密度函数 f (x) （或分布函数 F(x) ）， 求随机变量Y的密度函数 fY ( y) （或分布函数 FY ( y) ）。 积分上限函数的导数: dx d f t dt g x h x ( ) ( ) ( ) = f[g(x)]g'(x) − f[h(x)]h'(x) dx d f t dt g x a ( ) ( ) = f[g(x)]g'(x)