6.1.设总体X~P(),若样本观测值X1,2,x求参数的矩估计值 与最大似然估计值. 解:由题意,X~P(λ),i=1,2n其概率函数为 x P(x;)=e-,x=01,2 (1)总体一阶原点矩v1(X)=E(X)=, 用样本一阶原点矩V1=-∑X估计总体一阶原点矩v1(X) 即=x=. 由此得到λ的矩估计量:元=x; 的矩估计值:=x
.x ˆ ˆ ;X .XX n X )X(v n V )( ,)X(E)X(v .....,,x,e !x );x(P .n,...,,i),(P~X n i i n i i x i = = = = = == = = = ∑ ∑ = = − λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 的矩估计值： 由此得到 的矩估计量： 即 用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩 ， 总体一阶原点矩 解：由题意， 其概率函数为 1 1 1 1 1 1 1 1 210 21 6.1.设总体 x ∼ P(λ), 若样本观测值 ，求参数 的矩估计值 与最大似然估计值. 1 2 n x ,x , ,x , … λ
(2)似然函数:L()=Ⅱ e i=1x! hmL(4)=-n+∑x1m-∑hn(x1!) d In L(n) -n+ d元 n元 ∑x
λ λ Πλ − = = e !x )( )(L i x n i 1 2 似然函数： !x e n x i i λ Π λ =1 − = ∑∑ = = +−= − n i i n i i lnxn)(Lln )!xln( 1 1 λλ λ 0 1 1 ∑ =⋅+−= = n i i xn d )(Llnd λ λ λ ∑ = = n i i nx 1 λ .xx n n i ∑ i = = = 1 1 λ
6.2.设总体X的概率密度为 0x-,0 ∫(x;6)= 0,其它 其中6>0。若样本观测值 x1,x2y,xn,求参数6的矩估计值与 最大似然估计值。 解:(1)总体均值v1(X)=E(X)=0x°-d 样本一阶原点矩V1=∑X;=X,则 6 X X (2)似然函数 L(6)=Ⅱ,6xp hnL(6)=nlb+(6-1)∑mn d In L(8 n 0→6 de 6
. X ˆ X X ,XX n V )( dxx)X(E)X(v . n i i 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 − =⇒= − = = − = = = ∑ ∫ = − θ θ θ θ θ θ θ 样本一阶原点矩 则 解： 总体均值 )( )(L x ,x i n i n i n i 1 1 1 1 2 − = − = = = θ θ 似然函数 θΠθ Πθ . xln n ˆ xln n d )(Llnd ,xln)(lnn)(Lln n i i n i i n i i ∑ ∑ ∑ = = = += −=⇒= = −+ 1 1 1 0 1 θ θ θ θ θ θθ 最大似然估计值。 其中 。若样本观测值 求参数 的矩估计值与 ， 其它 设总体 的概率密度为 θ θ θ θ θ ,,...,, , , );( . xxx n x x xf X 21 1 0 0 0 1 6.2. > ⎩⎨⎧ << = −
6.3设总体X服从T分布,其概率密度为 c 0 ∫(x;a,B)={r(a 0,x≤0 其中参数c>0,B>0.若样本观测值 2 (1)求参数a及β的矩估计值 (2)已知 求参数B的最大似然估计值。 解:n1(X)=E(X)=「 ra xe px dx +∞ 令Bx=t x e px dx -t 厂(a) T(a)Jo(B B t e dt 厂(a+1)a Br(a) Br(a) B
. )( )( dtet )( dte t )( dxex )( dxex )( )X(E)X(v t t tx x x β α αΓβ αΓ αΓβ αΓ β β β αΓ β αΓ β α α β α βα α βα α = + = = ⋅ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ − ∞+ − = ∞+ − ∞+ − 1 1 1 0 0 0 0 1 令 解： 已知 ，求参数 的最大似然估计值。 求参数 及 的矩估计值； 其中参数 若样本观测值 设总体 服从 分布 其概率密度为 αα β βα α β α β βα α β α 0 21 1 2 1 0 0 00 0 6.3 = > > ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤ > = −− )( )( ., , ,..., , ,, ;, ),;( )( . , n x xxx x xex xf X Γ Γ
X)=E(X2)=「Bx“e 令Bx rate pido dt r(a)0 (a)0(B +∞ 厂(a+2)F(a)a(a+1) BT(a) B r(a) 得方程组如下 nx B ∑(x1-x)2 (a+ nx
. )( )( )()( dtet )( dte t )( dxex )( dxex )( )X(E)X(v t t tx x x 2 2 0 1 2 0 1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 1 β αα αΓβ αΓαΓ αΓβ αΓ β β β αΓ β αΓ β α α β α βα α βα α + = + = = ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ −+ ∞+ − + = ∞+ −+ ∞+ −+ 令 得方程组如下： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = − = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ∑ ∑ ∑ = = = 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 11 σ β σ α β αα β α ~ x )xx( xn ˆ ~ x )xx( xn ˆ x n )( x n i i n i i n i i