5.1.设抽样得到样本观测值为 38.240.042.437.639.241.044.043.238.840.4 计算样本均值、样本方差、样本标准差与样本二阶中心矩 解:x=1 x;=40.5 n i= S 2 nx2)=4.66,S=√4.66=2.1587 n U,=1(xx)2=4.194
5.1. 设抽样得到样本观测值为 38.2 40.0 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.4 计算样本均值、样本方差、样本标准差与样本二阶中心矩 . ..)( ( ,..,.) ;. 1944 1 4 66 4 66 2 1587 1 1 40 5 1 2 1 2 2 1 2 2 1 = =− ===− − = = = ∑ ∑ ∑ = = = xx n U xnx S n S x n x n i i n i n i i i 解：
5.2.设抽样得到100个样本观测值如下: 观测值 5 6 频数 15 21 25 20 12 计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩 解:F=1 ∑nx)=3.14, n ∑ x)2=2.121 n i=1 n;(r )2=2.1004
5.2. 设抽样得到100个样本观测值如下： 观测值 1 2 3 4 5 6 频数 15 21 25 20 12 7 计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩 . ..)( ~ ,.)( ,. )( )( )( 10042 1 1212 1 1 143 1 2 6 1 2 2 6 1 2 6 1 = =− =− − = = = ∑ ∑ ∑ = = = xxn n xxn n S xn n x i ii i ii i ii σ 解：
5.3.从某工厂生产的铆钉中抽取200个,测量铆钉头的直径,得到频率分布表如 下:(略) (1)计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩(计算时把各个子区间的 中点值取作观测值).(2)作直方图.(略) 解 x n. X 13.42 200 ∑ 0.01221; 199 ∑n,(x0-x) i=1 200 ∑n,(x0-x)=0.01215
5.3. 从某工厂生产的铆钉中抽取200个，测量铆钉头的直径，得到频率分布表如 下: (略) (1)计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩(计算时把各个子区间的 中点值取作观测值). (2)作直方图.（略） 解： ( ) ( ) ( ) i ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 13 42 200 1 0 01221 199 1 0 01215 200 i i i i i i i i i x nx . ; s nx x . ; σ nx x . . = = = = = = − = = − = ∑ ∑ ∑
54.从总体中抽取容量为n的样本X1,X2…,X,设C为任意常数,k为任 意正整数,作变换F=k(X1-c),1=12…,n 证明:(1)FsF +C,(2)52 s y 其中 k X及S2分别是X1,X2,Xn的样本均值及样本方差; Y及s2分别是Y1,y2,…,Yn的样本均值及样本方差 证明: (1)Y=∑y=∑[k(x-c) k ∑ X-kc n kX-kc=k(X-c)→FsYc ()s=n1(x可)=n15(x=)1(x=如 ∑(kx,一kX)=kS:2→S2
5.4. 从总体中抽取容量为 n 的样本 ，设 c 为任意常数，k 为任 意正整数，作变换 证明： ( 1 ) ( 2 ) 其中 及 分别是 的样本均值及样本方差； 及 分别是 的样本均值及样本方差 . 证明： X ,X , ,X 1 2 … n ( ) 12 Y k X c , i , , ,n . i i =−= … 2 2 2 y x Y S X c; S ; k k =+ = 2 2 x y X S Y S X ,X , ,X 1 2 … n Y ,Y , ,Y 1 2 … n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 22 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ii i i i i n n i y i i i n y i x x i Y Y k X c X kc nn n Y k X kc k X c X c . k k X c k X kc S YY n n S kX k X k S S . n k = = = = = = = = −= − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − = − ⇒ =− 1 1 n n n k ⎡ −− − ⎤ = −= ⎣ ⎦ − − = − = ⇒= − ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑
5.5.从总体中抽取两组样本,其容量分别为1及2,设两组的样本均值分别 为X1及X2,样本方差分别为S1及S2,把这两组样本合并为一组容量 为n1+n2的联合样本,证明: (1)联合样本的样本均值n12X1+n2X2 H1+n2 (2)联合样本的样本方差 2_(n1-1)S2+(n2-1) h21 n XI-X n1+n2 n1+n2)(n1+n2
5.5. 从总体中抽取两组样本，其容量分别为 及 ，设两组的样本均值分别 为 及 ，样本方差分别为 及 ，把这两组样本合并为一组容量 为 的联合样本，证明： (1) 联合样本的样本均值 (2) 联合样本的样本方差 1 2 n n X X 1 2 2 2 1 2 S S 1 2 1 2 1 2 nX nX X n n + = + ()( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 1 12 2 1 2 1212 1 1 1 1 n Sn S nn X X S nn nn nn − +− − = + + − + +− 1 2 n n +