第三单元三重积分
第三单元 三重积分
本单元的内容要点 三重积分的计算方法是将三重积分化为三次积分的计 算。主要内容有 利用直角坐标计算三重积分 o二、利用柱面坐标计算三重积分 、利用球面坐标计算三重积分
一、本单元的内容要点 三重积分的计算方法是将三重积分化为三次积分的计 算。主要内容有 一、利用直角坐标计算三重积分 二、利用柱面坐标计算三重积分 三、利用球面坐标计算三重积分
本单元的教学要求 掌握三重积分的各种计算方法:直角坐标、柱面坐 标、球面坐标的三重积分的计算方法
二、本单元的教学要求 掌握三重积分的各种计算方法：直角坐标、柱面坐 标、球面坐标的三重积分的计算方法
利用直角坐标计算三重积分 1坐标面投影法 设空间闭区域2为一个有界闭区域, 函数(x为2上的连续函数。区域12 =2(x,y) 2在xOy平面上的投影区域D为xy型 区域,投影柱面将g2的边界分成上 下曲面∑和∑ =p,(x) 2:z=(xy)2∑2:z=5(xy(xy)∈Dx y=2(x)
利用直角坐标计算三重积分 1.坐标面投影法 设空间闭区域 Ω为一个有界闭区域， 函数f(x,y,z ) 为 Ω上的连续函数。区域 Ω在xoy 平面上的投影区域 D 为xy 型 区域，投影柱面将 Ω 的边界分成上 下曲面 Σ 1 和 Σ 2 1 1 2 2 Σ: ( z= Σ z x,y), :z =z (x,y), (x,y) ∈D. x y z o a b y=ϕ1 (x ) z=z 2 (x,y ) y=ϕ2 (x ) z=z 1 (x,y )
对(x,y)∈D,作积分 (x,y) Φ(x,y) f(x, y,2)d2 则 (x,y:2=t 2·7y、J(x,y,)dl 进一步地,将二重积分化为二次积分,则得 f(x, y, 2)dv= dxdy f(x,y, z)di 91
对 ( , x y)∈ D ，作积分 ( ) 2 ( ) 1 , , ( , ) ( , , ) z x y z x y Φ = x y f x y z dz ∫ 则 ( ) 2 ( ) 1 , , ( , , ) ( , , ) . xy z x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz Ω = ∫∫∫ ∫∫ ∫ 进一步地，将二重积分化为二次积分，则得 ( ) 1 2 ( ) 1 1 ( ) , ( ) , ( , , ) ( , , ) . b x z x y a x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz ϕ ϕ Ω = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫