习题课 本章主要讨论各种形式的曲线积分和曲面积分,以及 各类积分的计算方法及相互的关系。 、第一类曲线积分 1积分形式 (1)平面曲线积分 f(x, y)ds
习题课 本章主要讨论各种形式的曲线积分和曲面积分，以及 各类积分的计算方法及相互的关系。 一、第一类曲线积分 1.积分形式 (1)平面曲线积分 ( , ) . L f x y ds ∫
)空间曲线积分 ∫(x,y,z)ds. 2积分方法 (1)平面曲线积分 直角坐标下:设曲线 L:y=y(x),x∈[an,b],y(x)∈C[a,b f(r, y)ds=/6 f[x, y(x)]v1+yxdx
(2)空间曲线积分 f ( , x y, z d) s. ∫Γ 2.积分方法 (1)平面曲线积分 直角坐标下：设曲线 (1) L : y y = ∈ (x), x [a,b], y(x) ∈ C [a,b], 则 2 ( , ) [ , ( )] 1 . b x L a f x y ds = + f x y x y′ dx ∫ ∫
参数方程设曲线 x=x() t∈[,B],x(t),y(t)∈C[a,B, 则 B f(x, y)ds fIx(t),y(1x 2+y 2dt 极坐标设曲线 L:r=r(6),e∈[a,月,r()∈C[o,B] I, f(x, y)ds= f[r(O)cos e, r(O)sinOR(0)+r(e)de
则 2 2 ( , ) [ ( ), ( )] . t t L f x y ds f x t y t x y dt βα = + ′ ′ ∫ ∫ (1) ( ) : [ , ], ( ), ( ) [ , ], ( ) x x t L t x t y t C y y t α β α β ⎧ = ⎨ ∈ ∈ ⎩ = 参数方程 设曲线 极坐标 设曲线 (1) L r: = ∈ r(θ ), θ α[ ,β ],r(θ )∈C [α,β ], 则 2 2 ( , ) [ ( )cos , ( )sin ] ( ) ( ) . L f x y ds f r r r r d βα = + θ θ θ θ θ θ ′ θ ∫ ∫
)空间曲线积分 设曲线 x=x(t :{y=y(t)t∈[a,Bl-x(t)y(),=(0)∈C[a, 则 B f(x, y, 2)ds= f[(),y(t), 2(1 n+yi+2t dt
(2)空间曲线积分 设 曲线 (1) ( ) : ( ) [ , ], ( ), ( ), ( ) [ , ], ( ) x x t y y t t x t y t z t C z z t α β α β ⎧ = ⎪ Γ ∈ ⎨ = ∈ ⎪⎩ = 则 2 2 2 ( , , ) [ ( ), ( ), ( )] . t t t f x y z ds f x t y t z t x y z dt β Γ α = + ′ ′ ′ + ∫ ∫
第一类曲面积分 1积分形式, f(x, y, z)ds 积分方法设曲面Σ,方程z=z(x,y),投影区域为D,则 c(=1x:(x,y+2+:do
二、第一类曲面积分 1.积分形式， f x( , y, z ) ds. Σ ∫∫ 积分方法 设曲面 Σ，方程 z = z (x, y), 投影区域为 D，则 2 2 ( , , ) [ , , ( , ) ] 1 . x y D f x y z ds f x y z x y z z d σ Σ = + ′ ′ + ∫∫ ∫∫