3.1.甲、乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为 X P2(x)04 0.3 0.2 0.1 P(0y)0305020 若两台机器的日产量相同,问哪台机器较好? 解:E(Ⅹ)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1; E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9 从上式可知甲机器较好. 3.2.某种电子元件的寿命X(单位h)的概率密度为:f(x/={q2、,F0 x≤0 其中a>0为常数求这种电子元件的平均寿命 解:E(x)=a2xet= ax t'e'dt t de=2/a C
3.1. 甲、乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为： 0.4 0.3 0.2 0.1 X 0 1 2 3 0.3 0.5 0.2 0 Y 0 1 2 3 若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？ )(yp jY )( iX xp 解： E( X ) = 0×0.4 + 1×0.3 + 2×0.2 + 3×0.1 = 1; E( Y ) = 0×0.3 + 1×0.5 + 2×0.2 + 3×0 = 0.9 从上式可知甲机器较好. 3.2. 某种电子元件的寿命 X ( 单位：h )的概率密度为： 其中 为常数.求这种电子元件的平均寿命. 解： . x, xe x, )x(f x ⎩⎨⎧ ≤> = − 0 00 2 α α ./2 1 )( 0 2 0 2 0 22 α α α α α ∫ ∫∫ +∞ − +∞ − +∞ − = = =−= x t t XE ex dx etxt dt t de α > 0
设随机变量的概率密度为:fx)=0共他 kx",0<x<1 已知E(X)=0.75,求k及a的值 解:由题意 f(x)dx=kxdx=1 k=a+1 ∫k → E(X)=xkxk=075k=0751a+2)a=3 3.4.设随机变量X的概率分布如右: X1012 P2(x)16161/61/2 求E(X),E(-2X+1);E(X2) 解: E(X)=(-1)+0+1+2=1; 6 2 E(-2X+1)=3+1+(-1)+(-3) E(X2)=1-+0+1+4=2
解：由题意 3.3. 设随机变量X的概率密度为： 已知 E ( X ) = 0.75 ，求 k 及 α 的值. 0 1 0 kx , x f(x) . , α ⎧ < < ⎪ = ⎨⎪⎩ 其他 1 0 1 2 0 1 2 1 3 0 75 0 75 2 f ( x )dx k x dx k k E( X ) x k x dx . k .( ) α α α α +∞ −∞ ⎧⎪ ⎪ = = ⎧ ⎧ = ⇒ ⇒ = + ⎨ ⎨⎨⎩ = ⎪ ⎪ = = ⎩ = + ⎩∫ ∫ ∫ i i 3.4. 设随机变量X的概率分布如右： 求 1/6 1/6 1/6 1/2 X -1 0 1 2 解： ( ); 12( ); ( ). 2 +− XEXEXE )( iX xp . 3 1 2 2 1 4 6 1 1 6 1 0 6 1 1)( ;1 21 )3( 61 )1( 61 1 61 3)12( ;1 21 2 61 1 61 0 61 )1()( 2 = ´ + ´ + ´ + ´ = =+− ´ + ´ −+ ´ −+ ´ −= −= ´ + ´ + ´ + ´ = XE XE XE
3.5.一批零件中有9个合格品与3个废品,安装机器时从这批零件中任取个.如 果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期方 差与标准差 解:设X是在取得合格品以前已取出的废品数.X的可能的取值为0,1,2,3. 则X的概率函数为: Px(x) 3323×2 12 1211101211109 px(x) 9/12 9/44 9/220 1/220 E(X)=0+1 +2 +3 0.3 4 220 220 E(X2)=03 +1 +4 9 0.4 44 220 220 D(X)=E(X2)-[E(X)2=0.31
3.5. 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时从这批零件中任取个.如 果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期方 差与标准差. 解：设 X 是在取得合格品以前已取出的废品数. X 的可能的取值为 0, 1, 2, 3. 则X的概率函数为： 9/12 9/44 9/220 1/220 X 0 1 2 3 iX )x(p iX )x(p 12 9 11 9 12 3 × 10 9 11 2 12 3 ×× 9 9 10 1 11 2 12 3 ××× ([)()( )] .31.0 ;4.0 220 1 9 220 9 4 44 9 1 4 3 0)( ;3.0 220 1 3 220 9 2 44 9 1 4 3 0)( 2 2 2 = − = = ´ + ´ + ´ + ´ = = ´ + ´ + ´ + ´ = XEXEXD XE XE
3.6.设随机变量X的分布函数为:F(x)=1a+ b arcsin x,-1sxs1 x>1 试确定常数a,b,并求E(Ⅹ)、D(X). 解:由已知随机变量X的分布函数的其概率密度 ∫f(x)=-b一= b arcsin x b丌=1 F(1)=a+mrsi1=a+1x=a+=1,(连续性)a=1 丌2 E(X)=「 dx=0,E(X-) dx=1/2 丌√1 元 D(X)=E(X2)/E(X2=1/2
3.6. 设随机变量X的分布函数为： 试确定常数 a , b ，并求 E( X )、D( X ). 解：由已知随机变量 X 的分布函数的其概率密度 . ,1 1 arcsin 11, ,0 1 )( ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + ≤≤− −< = x xba x x xF X(E[)X(E)X(D )] ./ dx ;/ x x dx )X(E; x x )X(E . a b a)(F arcsin a )(,a dx b arcsin b|x x b )x(f dx 21 21 1 0 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 = − = = − = = − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += += × =+= = == − = ∫ ∫ ∫ ∫ − − ∞+ − − ∞ − π π π π π π π 连续性
37.设随机变量X服从自由度为k的2分布,其概率密度为 e",x>0, 22rk/2 xso 其中k为正整数,求X的数学期望和方差。 解: E(X)=1242r(k/2) k/2-x/2 k/2-x/2 d22r(k/2) x/2 (k/2川+14(k/2+)-1。t e dt= r(k/2+1)=k 22(k/2) (k/2 E(X2) k/2+1-x/2 22r(k/2 ax 22(k/2) 2 4 DX)=E(X2)+E(X)=k+2khH22+1/2)(k2)=k2+2k t=x/2 (2t)e ' dt 22r(k/2) 2k
解： 3.7. 设随机变量X服从自由度为 k 的 分布，其概率密度为： 其中k为正整数，求X的数学期望和方差。 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤ > = −− .x, ;x,ex )x(f )/k( /x/k /k 0 0 0 22 1 212 2Γ 2 λ dx dx X(E[)X(E)X(D )] .kkkk ;kk)/k()/k()/k( )/k( e)t( dt )/k( /xt ex )/k( ex )/k( )X(E ;k)/k( )/k( et dt )/k( /xt ex )/k( ex )/k( )X(E t/k /k /x/k /k /x/k /k t)/k()/k( /k /x/k /k /x/k /k 22 22212 2 4 2 22 2 2 22 1 22 1 12 2 2 2 22 1 2 22 1 22 1 2 22 2 2 0 12 2 0 0 212 2 212 2 2 0 11212 2 0 0 22 2 22 2 += =−+= = = × + ×× += = = = = =+ = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ −+ + ∞ ∞ + −+ −+ ∞+ −−++ + ∞ ∞ + − − Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ dx dx dx