10(i=1,2,L,r) § 0 当( 时，方程组无解； 当d+=0时，分两种情况 § 1)r=n,这时阶梯形方程组为 icux+c12x2+L +cinxn =d C22X2+L +c2nxn=d2 i LLLLLLLL CmXn =dn 其中c10(i=1,2,L,m。 这时方程组有 唯一解
其中 § 当时，方程组无解； § 当时，分两种情况： 1）r=n，这时阶梯形方程组为 其中。这时方程组有 唯一解
2)r<n,阶梯形方程组为 icux+c12x2 +L +crx,+L +cinxn=d ii C22X2+L +c2rx,+L+c2nxn=d2 厨 LLLLLLLLLLLL Cx,+L+cmxn=dr 其中C10(i=1,2,L,),把它改写成 超
2）r<n，阶梯形方程组为 其中 ，把它改写成
ic+C2X2+L+curx,=d-curx-L-CuXn C22x2+L+c2x,=d2-C2.mL-c2nX LLLLLLLLLLLL Cnx=dCrrL-CmXn
（7）
这时，有无穷多组解。由(7)式，我们可 以把 X,2,L,X通过x,L,X 表示 出来，这样一组表达式称为方程组(1)的 般解，廊，1，L,X, 称为一组自由未 知量。 §r>n,是不可能的。 §总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组， 若 d10,则方程组无解； 若d=0 ，方程组有解。在有解的 情况下，若r=n,有唯一解；若r<n有无穷 多解。 弱
这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可 以把通过表示 出来，这样一组表达式称为方程组（1）的 一般解，而称为一组自由未 知量。 § r>n，是不可能的。 § 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组， 若，则方程组无解； 若，方程组有解。在有解的 情况下，若r=n，有唯一解；若r<n有无穷 多解
定理1在齐次线性方程组 iax+a2x2 +L +ayx,=0 1 a211+a22X2+L+a2nX,=0 LL asx+as2x2 +L+ayx,=0 中，如果s<n,那么它必有非零解。 证明显然，方程组化为阶梯形方程组后， 方程组的个数不会超过原方程组中的个数， 即r≤s<n,由上结论知，r<n方程组有无穷 解，因而必有非零解
定理1在齐次线性方程组 § 中，如果s<n，那么它必有非零解。 § 证明显然，方程组化为阶梯形方程组后， 方程组的个数不会超过原方程组中的个数， 即r≤s<n，由上结论知，r<n方程组有无穷 解，因而必有非零解