高阶线性方程通解的结构 回顾与导入： 。回顾线性微分方程组通解的性质 ●导入高阶微分方程解的性质与通解的结构 定理43 对于n阶线性非齐次方程(1)和线性齐次方程(2)，下列结论成 立： (a)假设a1(x),.,an(x)f(x)∈C(J),则 对V(00,y10,.,ym-1,0)∈J×R,方程(1)满足初始条件 yo)=J0,y(x0)=y10,yn-(xo)=n-1.0, 的解在J上存在唯一且连续可微。 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶钱性微分方程通解的结构
p Ç5êßœ)( £Ü\: £Ç5á©êß|œ)5ü \p á©êß)5üÜœ)( ½n 43 Èu n Ç5ö‡gêß (1) ⁄Ç5‡gêß (2), e(ÿ§ ·µ (a) b a1(x),...,an(x),f(x) ∈ C(J), K È ∀(x0, y0, y10,..., yn−1,0) ∈ J ×R n , êß (1) ˜v–©^á y(x0) = y0, y 0 (x0) = y10,..., y (n−1) (x0) = yn−1,0, )3 J ˛3çòÖÎYåá. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!p Ç5á©êßœ)(
定理43（续） (b)设1(x),,(x)是齐次方程(2)的解.则它们在J上线性 无关的充要条件是Wronsky行列式W(x)≠0，x∈J.此时 称1(x),,(x)为齐次方程(2)的基本解组 (c)设1(x),,(x)是齐次方程(2)的基本解组，则 (c1)齐次方程(2)的通解为 y(x)=c101(x)+...+cnon(x),xEJ, 其中c1,,cn是任意常数： (c2)非齐次方程(1)的通解为 y(x)=c101(x)+...+cnon(x)+o*(x),xEJ, 其中c1,,cn是任意常数，o*是(1)的任一解. 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构
½n 43 (Y) (b) φ1(x),...,φn(x) ¥‡gêß (2) ). KßÇ3 J ˛Ç5 Ã'øá^ᥠWronsky 1™ W(x) 6= 0, x ∈ J. dû ° φ1(x),...,φn(x) è‡gêß (2) ƒ )|. (c) φ1(x),...,φn(x) ¥‡gêß (2) ƒ )|, K (c1) ‡gêß (2) œ)è y(x) = c1φ1(x) +...+cnφn(x), x ∈ J, Ÿ• c1,..., cn ¥?ø~Í; (c2) ö‡gêß (1) œ)è y(x) = c1φ1(x) +...+cnφn(x) +φ ∗ (x), x ∈ J, Ÿ• c1,..., cn ¥?ø~Í, φ ∗ ¥ (1) ?ò). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!p Ç5á©êßœ)(