应用举例 正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用,下面介 绍它们在测量距离,高度、角度等问题中的一些应用.在这 些应用问题中,测量者借助于经纬仪与钢卷尺等测量角和距 离的工具进行测量 同学们在学习时可以考虑,题中为什么要给出这些已知 条件,而不是其他的条件?应该注意到,例题及习题中的一 组已知条件,常隐含着对于这类测量问题在某一种特定情境 和条件限制下的一个测量方案.在这种情境与条件限制下, 别的方案中的量可能无法测量出来,因面不能实施别的测量 下面是几个测量距离的问题 例1如图1.21,设A、B两点在河的两岸,要测量 两点之间的距离.测量者在A的同侧,在所在的河岸边选 定一点C,测出AC的距离是55m,∠BAC=51°,∠ACB 75:求A、B两点间的距离(精确到0.1m) 分析:所求的边AB的对角是已知的,又已知三角形的 一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角 根据正弦定理,可以计算出边AB. 图1.2-1 12
第一章解三角形 第一章 解:根据正弦定理,得 ∠ACB-=mCA 55sin∠ACB ≈65,7(m) 答:A、B两点间的距离为65.7米 例2如图1.2-2,A、B两点都在河的对岸(不可到 达),设计一种测量A、B两点间距离的方法 分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小,借助于余弦定 理可以计算出A、B两点间距离 图1.2-2 解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD= a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=a,∠ACD=A ∠CDB=y,∠BDA=6.在△ADC和△BDC中,应用正弦 定理得 1(++- BC-180-1++7)=m(a+p 计算出AC和BC后,再在△ABC中,应用余弦定理计算出 AB两点间的距离 √AC+BC-2AC× BCos a ■目13
CHAPTER 通高中课程标准买验教科书数学5 请同学们想一想,还有没有别的测量方法 在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基 线,如例1中的AC,例2中的CD.在测量过程中,要根据 实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度 一般来说,基线越长,测量的精确度越高,例如,早在 1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距 离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出 a,β的大小和两地之间的距离AB,从而算出了地球与月球 之间的距离约为385400km(图1.2-3),我们在地球上所 能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴的长,当然,随着 科学技术的发展,还有一些更加先进与准确的测量距离的 练习 1.如图,一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在 船的北偏东20°的方向,30mn后航行到B处,在B处看灯塔在船的北 偏东65的方向,已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区 域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗? 2.自动卸货汽车的车箱采用液压机构.设 计时需要计算油泵顶杆BC的长度,已 知车箱的最大仰角是60°油泵顶点B 与车箱支点A之间的距离为1.95m, AB与水平线之间的夹角为620·AC 长为1.40m,计算BC的长(精确到 0.01m) 第2题 第1题
第一章解三角形 第一章 我们再来看几个测量高度的问题 例3AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑 物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法 图1.2-4 分析:由于建筑物的底部B是不可到达的,所以不能直 接测量出建筑物的高,由解直角三角形的知识,只要能测出 一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A 的仰角,就可以计算出建筑物的高.所以应该设法借助解三 角形的知识测出CA的长 解:选择一条水平基线HG(图1.2-4),使H,G,B 三点在同一条直线上,由在H,G两点用测角仪器测得A 的仰角分别是a,.CD=a,测角仪器的高是h.那么,在 △ACD中,根据正弦定理可得 AB=AE+h ACsin a+h 例4如图125,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A 的俯角a=5440°,在塔底C处测得A处的俯角a=501.已 知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m) 分析:根据已知条件,应该设法计算出AB或AC的长, 解:在△ABC中,∠BCA=90°+.∠ABC=90°-a ∠BAC=a-,∠BAD=a.根据正弦定理 sin(a-p)sin(90°+ ■15
CHAPTER 通腐中课程标准其教科书数学5 b2-( aosa 解Rt△ABD,得 BD= ABsin∠BAD 人 把测量数据代入上式,得 BD如=若 图1.25 27.3cos50°1sin54°40′ ≈177(m) CD=BD-BC≈177-27.3≈150(m) 答:山的高度约为150米 例5如图1.2-6,一辆汽车在一条水平的公路上向正 东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15 的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南 25的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD 图1.26 分析:要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的 另一条直角边或斜边的长,根据已知条件,可以计算出BC 解:在△ABC中 ∠A=15°,∠C=25-15°=10 根据正弦定理 16