第一意解三角形 第一章 cos C 应用以上推论,就可以从三角形的三边计算出三角形的 从上面可知,余弦定理及其推论把用“边 “边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行 了刻画,使其变成了可以计算的公式 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出 了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之问的关系? 从余弦定理和余弦函数的性质可知,如果一个三角形两 三角函数把几 的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直 何中美于三角形的 定性结果都变成定 角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角; 量而可计算的公式 如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.从上 了,你该因此更喜 可知,余弦定理可以看作是勾股定理的推广 爱三角函数了吧! 我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用,就能很好地 解决三角形的问题 例3在△ABC中,已知b=60cm,c=34cm,A= 41°,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm) 弦定 a=b+e-2bxcos A =602+342-2×60×34×cos41 ≈3600+1156-4080×0.7547 1676.82 所以 a≈4l(cm) 由正弦定理得 sinC=snA≈34xsn41≈34×0.656≈0.5440 因为c不是三角形中最大的边,所以C是锐角,利用计算器 国7
CHAPTER 遇高中课程标准实验教科书数学5 C≈33° B=180°-(A+C)≈180°-(41°+33)=106° 例4在△ABC中,已知a=134.6cm,b=87.8cm =161.7cm,解三角形(角度精确到1 解:由余弦定理的推论得 o0sA夕 装如 ≈0.5543 A≈5620 在解三角形的过程 中,求某一个角有时既 可以用余弦定理,也可 汉用正弦定理,两种方 1321x 法有什么利弊呢? ≈0.8398, C=180°-(A+B)≈180°-(5620′+3253') 我们讨论的解三角形的问题可以分为几种类型?分别是怎样求解的? 要求解三角形,是否必须已知三角形一边的长? 练习 在△ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.1°,边长精确到0.1cm) (1)a=2.7cm,b=3.696cm,C=82.2; (2)b=12.9cm,c=15.4cm,A=42.3 2.在△ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.1,边长精确到0.1cm)a (1)4=7 cm, b=10 cm, c=6 cmn (2)a=94m,b=159cm,c=21.1cm 8
第一章三用形 第一章 m解三角形的进一步讨论 二现 先研究下面的问题 已知:在△ABC中,a=22cm,b=25cm,A=133°,解三角形 根据正弦定 因为0<B<180°,所以B≈56.21°,或B≈123.79° C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°, 到这里,让我们惊讶的是所计算出的角竞然是负角 问题出在何处呢?是已知条件有问题吗? 分析已知条件,我们注意到a=22cm,b=25cm,这里a<b,A=133,是一个钝 角,根据三角形的性质,应该有A<B,因而B也应该是一个钝角,而在一个三角形中是 不可能有两个钝角的。这说明满足已知条件的三角形是不存在的 从上面的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些 条件下会出现无解的情形.下面我们一起深入研究一下这种情形下解三角形的问题 以已知a,b,A,解三角形的问题为例来讨论,在这种情形下我们可以先用正弦定 理,计算出另一边的对角的正弦值 sin B=bsin A 并由此求出B;再用三角形内角和定理计算出第三个角 C=180°-(A+B 然后,应用正弦定理计算第三边 如果已知的A是钝角或直角,那么必须a>b才能有解,这时从如B-mA计算 B时,只能取锐角的值,因此有一个解 9
CHAPTE 通腐中课任标买教科书数学5 2.如果已知的A是锐角,并且a>b或者a=b,这时从sinB 算B时,也 只能取锐角的值,因此都只有一个解 如果已知的A是锐角,并且a<b,我们可以分下面三种情形来讨论 (1)如果a> bsin A,这时从sin 计算得sinB<1,B可以取一个锐角的 和一个钝角的值,因此可以有两个解 (2)如果a- hsin A.这时从sinB=如mA计算得B=1.,B只能是直角,因此只有 3)如果a<binA,这时从snB=mnA计算得sB>1.但是一个角的正弦的值 不能大于1,因此没有解 你能画出图来表示上面各种情形下三角形的解吗? 如果已知一边和两个角,会有不能解的情况吗? 我们知道,任何三角形的两边之和都大于第三边,当已知三角形的三边作一个三角形 时,已知的三条边必须满足上面的条件,例如,如果已知的三条边的长分别是3cm,4cm, 5cm,我们就可以作出这个三角形.但是我们无法作出一个三角形,使它的三条边分别是 3cm.4cm,7cm,或分别是3cm,4cm,8cm这是因为已知条件中三角形的两边的和等 于或小于第三边,在这种情况下,当然也无法解出三角形,从上可知,在已知三角形的三边 解三角形时,已知三边的边长必须满足构成三角形的三边的条件,解三角形才是有意义的 如果已知三角形的两边和它们的夹角,那么这个三角形是唯一确定的,也就是可解的 我们可以用余弦定理计算出第三边,用余弦定理的推论或用正弦定理计算出其余的角 习题1: 1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm) (1)A=70°,C=30°,c=20cm (2)A=34°,B=565,c=68cm
第一章解三角形 第一章 2.在△ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm) (1)b=26cm,c=15cm,C=23° (2)a=15cm,b=10cm,A=60°; 3)b=40cm,c=20 3.在△ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm) (1)a=49cm,b=26cm,C=107° 2)c=55cm,a=58cm,B=66° (3)b=38cm,c=40,A=106 4.在△ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到1° (2)a=31 1.在△ABC中,证明模尔外得( Mollweide,德国数学家)公式: (说明:以上两个公式涉及了三角形的三边和三角,解三角形时可以用以上公式对于计算的结 进 2.证明:设三角形的外接圆的半径是R,则 3.在△ABC中,如果有性质acsA=bosB,试问这个三角形的形状具有什么特点 11