第一章解三用形 第一章 BC助4-础m ≈7.4524(km) CD= BCXtan∠DBC≈ BCXtan8≈1047(m) 答:山的高度约为1047米 习 1.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为a,沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B,在B处测得山 顶P的仰角为x,求证:山高h=9mam一P 第1题 第2题 2.测山上石油钻井的井架BC的高,从山脚A测得AC=65.3m,塔顶B的仰角a是2525,已 知山坡的倾斜角是1738·求井架的高BC 3.勒探队员朝一座山行进,在前后两处观察山顶的 仰角分别是29和38°,两个观察点之间的距离是 200m,求此山的高度 (第 下面是一个测量角度的问题 例6如图1.2-7,一艘海轮从A出发,沿北偏东75° 的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发, 沿北偏东32°的方向航行54.0nmle后到达海岛C.如果 下次航行直接从A出发到达C.此船应该沿怎样的方向 17
CHAPTER 呂通高中课程标准实验教科书数5 航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确 到0.01 n mile) 图1.27 解:在△ABC中,∠ABC=180-75+32=137°,根 据余弦定理 AC=√AB+BC=2 ABX BC×cos∠ABC =√67.5+54.02-2×67.5×54.0×cos137 ≈113.15 根据正弦定理 n∠AB sin∠CAB=BCsn∠ABC ≈0.3255 ∠CAB=19.0° 75-∠CAB=56.0° 答:此船应该沿北偏东56.1°的方向航行,需要航行 练习 3.5m长的棒斜靠在石堤旁,棒的一端在离堤足 1.2m地面上,另一端在沿堤上2.8m的地方,求 对地面的倾斜角a 18
第一解三角形 第一章 借助于正弦定理和余弦定理,我们可以进一步解决一些 有关三角形的计算问题 在△ABC中,边BC,CA,AB上的高分别记为h h,h,那么容易证明: h=bsin C=csin B. he=csin A=asin C. h,=asin B=bsin A. 根据三角形的面积公式S=ah,应用以上高的公式 h= b sin c.可以推导出下面的三角形的面积公式: 同理 s=casin B 例7在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到0.1cm2): =23.5cm,B=148.5° (2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm (3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm, c=38.7cm 解:(1)应用S=asmB,得 s=1×23.5×14.8×im148.5≈90.9(cm2) (2)根据正弦定理 s-lisin a- lw sin Csin A. A=180°-(B+C)=180°-(62.7°+65,8°) 51,5°, ■19
CHAPTER 皙通高中课程标准买教科书数攣5 (3)根据余弦定理的推论,得 cos B-c ≈0.7697 sinB=√1-cosB≈√1-0.7697≈0.6384. 应用S2如mB,得 s≈×3.7×4.4×0.6851.4(m) 例8如图1.2-8,在某市进行城市环境建设中,要把 一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角 形区域的三条边长分别为68m,88m.127m,这个区域的 面积是多少?(精确到0.1cm2) 图1.2-8 解:设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的 推论, ≈0.7532 sinB=√1-0.7532≈0.6578 应用S= casin b 20
第一章三角形 第一章 S≈1×127×68×0.6578≈2840.38(m) 答:这个区域的面积是2840.38m2 例9在△ABC中,求证: a'+b sinA-t (2)a+b+e-2(bcos A-+cacos B-+abcos C 证明:(1)根据正弦定理,可设 ,=一b。=C=k 显然k≠0,所以 +h ksin A+k B sinA+smB=右边 (2)根据余弦定理的推论 右边=2{bx+二2+a+=b+abc2+ =(b2+c-a2)+(2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2=左边 习 1,在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到1cm2) (1)已知a=18cm,c=25cm,B=48.5° 2)已知B=52.8°,C=75.8,b=16cm; (3)已知三边的长分别为a=44cm,b=23cm,c=37cm 2.有一块四边形土地的形状如图所示,它的三条边的长分别 是50m60m,70m,两个内角是127和132,求四边形 的面积(精确到0.1m3 ■21