正弦定理和余弦定理 111正弦定理 我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边 角关系。我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢? 在△ABC中,如果已知∠A所对的边BC长为a,∠B 所对的边AC长为b,∠C所对的边AB长为c,我们研究 ∠A,∠B,∠C,a,b,c之间有怎样的数量关系 我们不容易直接得到一般三角形中边和角的关系,我们 先考虑直角三角形这种特殊情形 图1.1-1,在R△ABC中,∠C是最大的角,所对 的斜边c是最大的边,要考虑边长之间的数量关系,就涉及 到了锐角三角函数.根据正弦函数的定义 =sin A sin A sin 又sinC=1,所以
第一章解三用形 第一章 那么,对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成 如图1.1-2,当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的 高是CD,根据三角函数的定义 CD=asin B. asin B=bsin A 得到 同理,在△ABC中 当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗? 从上面的讨论和探究,我们得到下面的定理 正弦定理( law of sines)在一个三角形中,各边和它 是否可以用其他方 所对角的正弦的比相等,即 法证明正弦定理? 正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之 间的一个关系式,由正弦函数在区间上的单调性可知,正弦 定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系 般地,把三角形的三个角A,B.C和它们的对边a b.c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫做解三角形( solving triangles) 我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢? 3
CHAPTER 甜通高中课程标准买验教科节数学5 分析正弦定理可知,如果已知三角形的任意两个角与一 由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一角,并 由正弦定理计算出三角形的另两边;如果已知三角形的任意 两边与其中一边的对角,应用正弦定理,可以计算出另一边 的对角的正弦值,进而确定这个角和三角形其他的边和角 例1在△ABC中,已知A=32.0°,B=81,8° 42.9cm,解三角 解:根据三角形内角和定理 C=180°-(A+B 180°-(32.0°+81.8°) 根据正弦定理, ≈80.1(cm) 例2在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A= 时于任意给定的a b,A的值,是否必能确 40°,解三角形(角度精确到1,边长精确到1cm) 定一个三角形? 解:根据正弦定理 sin B-bsin A-28sin 400, 8999 因为0<B<180°,所以B≈64°,或B≈116 (1)当B≈64°时 C= A+B)≈180°-(40°+64°)=76° sin40°≈ (2)当B≈116时, C=180°-(A+B)≈180°-(40°+116°)=24
第一章解三角形 第一章 练习 1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm 1)A=45°,C=30°,c=10 2)A=60°,B=45°,c=20 20 cm 2.在△ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到1,边长精确到1cm): (1)a-20cm,b=11cm,B=30 (2)c=54cm,b=39cm,C-115° 112余弦定理 如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全 等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形 我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们 的夹角计算出三角形的另一边和另两个角的问题 先考虑怎样计算出三角形第三条边的长.这就是要研究 如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边的问题 如果已知三角形的两边的长BC=a,AC=b,边BC和 边AC所夹的角是C,我们要设法找出一个已知的a,b和C 与第三条边c之间的一个关系式,或用已知的a,b和C表 示第三条边c的一个公式 联系已经学过的知识和方法,我们从什么途径来解决这个问题? 由于涉及边长问题,我们可以考虑用向量的数量积,或 解析几何中的两点间距离公式来研究这个问题 5
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数等5 如图1.1-3,设CB=a,CA一b,B=c,那么 e=ec=(a-b)·(a-b) =a·a+b·b-2a·b =a'+b-2abcos C. 图1.1-3 在这个证明中,你 d=a+b-2abcos( 感到向量运算的威力 同理可以证明: 了吗? w=e+a-2cacos B 于是,得到以下定理 余弦定理( law of cosines)三角形中任何一边的平方 等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 用坐标方法怎样证 积的两倍.即 明余弦定理?还有其他 a'=b+c-2lxccos A 方法吗? h=e+a -2cacos B 应用余弦定理,我们就可以从已知的两边和夹角计算出 角形的第三条边 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,应用 余弦定理,我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题,怎 么确定呢? 从余弦定理,可以得到它的推论 6