西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.5 随机变量的函数的分布

§2.5随机变量的函数的分布 例3：设随机变量X具有概率密度fx), 一o0<x<0,求Y=X2的概率密度 解：1°F)=PY, 由Y=X≥0，当y≤0时，Fy)=0 2°当y>0时，代入Y=X2得 Fy)=P(Y<y)=PX<y) 3° =P-Vy≤X≤Vy) 4°由Fx)得F0)=FxWy)-Fx(-Vy) 5°f0y)=dF0y)/= 2/+>0 0 y≤0 7135

§2.5 随机变量的函数的分布 例3：设随机变量X具有概率密度fX (x)， －∞<x<∞，求Y=X2的概率密度 解：1°FY (y)＝P{Yy}， 由Y=X20，当y0时，FY (y)＝0 2°当y>0时，代入Y=X2得 FY (y)＝P{Yy}＝P{ X2y} 3° ＝P{ } 4°由FX (x)得 FY (y)＝ 5°fY (y)＝dF(y)/dy＝  y  X  y F ( y) F ( y) X  X           0, 0 [ ( ) ( )] 0 2 1 y f y f y y y X X ， 7/35

§2.5随机变量的函数的分布 在Y=g(X),且g(X)为严格单调函数时的一般结果 9定理：设随机变量X具有概率密度f(x),一oo<x<oo,又设 函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0(或g'x)<0),则Y=g(X)是 连续型随机变量，其概率密度为 fy(y)= fxIh(y川'(y),a&<y<B 0, 其它 o其中a=min{g(-oo),g(o)}, B=maxig(-oo),g(oo), hy)是g(x)的反函数 8135

§2.5 随机变量的函数的分布  在Y=g(X)，且g(X)为严格单调函数时的一般结果  定理：设随机变量X具有概率密度fX (x)，－∞<x<∞，又设 函数g(x)处处可导且恒有g(x)>0(或g(x)<0)，则Y= g(X)是 连续型随机变量，其概率密度为   其中α＝min{g(－∞)，g(∞)}，  β＝max{g(－∞)，g(∞)}，  h(y)是g(x)的反函数        0, 其它 [ ( )]| ( )| , ( ) f h y h y  y  f y X Y 8/35

§2.5随机变量的函数的分布 证：g')>0的情况 F()=P(YSy)=P(g(X)s) 此时gc)为单调增函数，所以(y)也是单调增函数，且有y的取值范围为 a=g(-o)y≤g(oo)=p, 因此当≤时，Fy)=0; 当y2时，F0y)=1 当a≤ys时，Fy)=PYs=P{g(X)s} h(y)是单调增函数 =P{X≤(y)} =Fx(h(y)) ● 求导0例=aE0=aEhW于xh]')a<y<B 其它 g')<0的情况，此时h'y)<0 0, ● P(g(X)S)=P(Xzh(v))=1-Fx(h(v)) fx [h(y)I-h'(y)l,a<y<B fy(y)=dF(y)/dy=dl1-Fx(h(v))lldy= 0, 其它 两种情况合并即可得证 9/35

§2.5 随机变量的函数的分布  证：g(x)>0的情况  FY (y)＝P{Yy}＝P{g(X)y}  此时g(x)为单调增函数，所以h(y)也是单调增函数，且有y的取值范围为  α＝g(－∞)yg(∞)＝β，  因此当yα时，FY (y)＝0； 当yβ时，FY (y)＝1  当 αyβ时，FY (y)＝P{Yy}＝P{g(X)y}  h(y)是单调增函数 ＝P{Xh(y)}  ＝ FX (h(y))  求导fY (y)＝dFY (y)/dy＝dFX (h(y))/dy＝  g(x)<0的情况，此时h(y)<0  P{g(X)y}=P{Xh(y)}=1－FX (h(y))  fY (y)＝dF(y)/dy＝d[1－FX (h(y))]/dy＝  两种情况合并即可得证       0, 其 它 f X [h( y)]h ( y),  y         0, 其 它 f X [h( y)][ h ( y)],  y  9/35

§2.5随机变量的函数的分布 推广 ●若fxx)在有限区间[a,b以外等于0，则只需假设在[a,b] 上恒有g'x)>0(或g'x)<0),a=min{g(a,g(b)},B= max{g(a),g(b)},以上结论还成立 分段单调函数的情况下，上述定理可进一步推广 为下面形式 ·假设g(x)在下面两个区间(a1,b)和(2，b2)分别是单调的函 数，其中在(a1,b1)上的反函数为h1y),在(2，b)上的反 函数为2y),且fxx)在其它有限区间等于0，则有 ·f0=fxhI训川+fxh,OI训goia<y<B 0. 其它 其中y的范围由gx)确定 。可参考教材中Y=X2的求解过程 10/35

§2.5 随机变量的函数的分布  推广  若fX (x)在有限区间[a,b]以外等于0，则只需假设在[a,b] 上恒有g(x)>0(或g(x)<0)，α＝min{g(a)，g(b)}，β＝ max{g(a)，g(b)}，以上结论还成立  分段单调函数的情况下，上述定理可进一步推广 为下面形式  假设g(x)在下面两个区间(a1 ,b1 )和(a2 ,b2 )分别是单调的函 数，其中在(a1 ,b1 )上的反函数为h1 (y)，在(a2 ,b2 ) 上的反 函数为h2 (y)，且fX (x)在其它有限区间等于0，则有  fY (y)＝  其中y的范围由g(x)确定  可参考教材中Y=X2的求解过程         0, 其它 [ ( )]| ( )| [ ( )]| ( )| , f X h1 y h1 y f X h2 y h2 y  y  10/35

§2.5随机变量的函数的分布 。例4：正态分布的随机变量的线性变换问题 ●已知随机变量X~N(w,σ)，试证明X的线性函数Y=aX+b(0)也服从正态 分布。 。证：X的概率密度为 1-2 fx)= 0,-00<x<00 √2πo ·现在y=gc)=x+b,由这一式子解得x=hy)=(y-b)/a,且有h'y)=1/a 。显然gx)是严格单调的，由定理有 。f0)=fxhI川h'la<y<B1 0 其它a 。)，-00<y00 11 e 20 1-(b+a e 2(ao) 一00<yK00 Ia|√2πo |a|o√2π 所以有 Y=aX+b~N(au+b,(ao)2) 。特别的当a=1/o,b=一ulc时，Y=(X一)/o=~N0,1) 。即上一节的引理的结果 11/35

§2.5 随机变量的函数的分布  例4：正态分布的随机变量的线性变换问题  已知随机变量X～N(μ，σ 2 )，试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态 分布。  证：X的概率密度为  f(x)＝ ，－∞<x<∞  现在y＝g(x)=ax+b，由这一式子解得x＝h(y)=(y-b)/a，且有h(y)＝1/a  显然g(x)是严格单调的，由定理有  fY (y)＝ ，－∞<y<∞  ＝ ＝ ，－∞<y<∞  所以有  Y= aX+b～N(aμ＋b，(aσ) 2 )  特别的当a＝1/σ，b＝－μ/σ时，Y=(X－μ)/σ=～N(0，1)  即上一节的引理的结果 2 2 2 ( ) 2 1      x e ( ) | | 1 0, [ ( )]| ( )|, a y b f a f h y h y y X X         其它   2 2 2 ( ) 2 1 | | 1       a y b e a 2 2 2( ) [ ( ] | | 2 1     a y b a e a    11/35