(2尼已知α=a0,求参数β的最大似然估计值。 L(B)=nBo e 厂(a) n I 1,-Bx e /r(a)"=1 hnL(B)= n ao In B-nmr(a)+(ao-1)∑mx;-∑Bx d In l(B) na d B ∑x1=0→B
. x ˆ x n d )(Llnd xln)()(lnnlnn)(Lln x ex )]([ ex )( )(L )( n i i n i i n i i x i n i n n x i n i i i 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 α β βα β β βαβ ααΓ β Π αΓ β αΓ β Πβ α α β α β α α β α =⇒=−= = − −+ − = = = ∑ ∑∑ = = = −− = −− = 已知 ，求参数 的最大似然估计值
6.4.设总体X~e(孔,其中4>0,抽取样本X1,X2y,Xn,证明: (1)虽然样本均值X是的无偏估计量,但 X2却不是2的无偏 估计量; (2)统计量 X是A的无偏估计量 n+1 证明:(1)E(X)=∑E(X;)= 因此样本均值 X是的无偏估计量,但 E(X2)=D(X)+E(X川2 D∑X,+2 n+1 元2不是2的无偏估计量 n (2)E EX +1 n+1 故统计量 X是2的无偏估计量 n+1
故统计量 是 的无偏估计量。 不是 的无偏估计量。 因此样本均值 是 的无偏估计量，但 证明 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 λ λ λ λ λ λ λ X n n .)X(E n n X n n E)( n n X n D )]X(E[)X(D)X(E X ,)X(E n )X(E)(: n i i n i i + = + ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + + =+ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = = + = = ∑ ∑ = = 统计量 是 的无偏估计量。 估计量； 虽然样本均值 是 的无偏估计量，但 却不是 的无偏 设总体 其中 抽取样本 证明： 2 2 2 2 21 1 2 1 6.4 0 λ λ λ λ λ X n n X X eX XXX n + > )( )( . (~ ), , , ,...,
6.5.从总体X中抽取样本X1,X2…,Xn,确定常数c的值,使得 是总体方差 的无偏估计量 证明:E(a2)=c∑E(X1-X1)2 =C∑E(x21)-2E(X)E(X1)+E(X2 =2c∑[E(x)=E(X3小=2c(n-1 故
[ ] [ ] . )n( c .)n(c)X(E)X(Ec )X(E)X(E)X(E)X(Ec (E: ˆ )XX(Ec) n i i i n i i i i i n i i i 12 1 2 12 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 − = = − −= = − + = − ∑ ∑ ∑ = + = + + − = + 故 证明 σ σ 是总体方差 的无偏估计量。 从总体 中抽取样本 确定常数 的值，使得 2 1 1 2 1 2 6.5 21 σ σ ∑ − = + = − n i i i n XXc X XXX c ˆ ( ) .