目录 第一章微积分 1.1回顾微积分……… ……(1) §1.2复数域扩充复平面及其球面表示 §1.3复徽分…… (10) §1.4复积分… …(16) 1.5初等函数 ………(18) §1.6复数级数 (25) 习题 第二章 Cauchy积分定理与 Cauchy积分公式:…………(33) §2.1 Cauchy Green公式( Pompeiu公式)…(33) §2.2( auchy-Goursat定理 §2.3 Taylor级数与 Liouville定理…………44) §2:4有关零点的一些结果 (50) §2.5最人模原理、 Schwarz引理与全纯自同构群 §2.6全纯函数的积分表示 (61) 习题 …(66) 第三章 Weierstrass级数理论 §3.1 Laurent级数 §3.2孤立奇点……… §3.3整函数与亚纯函数 (80) §3.4 Weierstrass因子分解定理、 Mittag-lelfler定理与插值定理 §3.5留数定理· ··中
§3.6解析开拓 习题三…… 第四章 Rieman映射定理 (105) §4.1共形映射 §A.2正规族 (110) §4.3 Riemann驶射定理 §4.4对称原理 …(116) §4.5 Riemann曲面举例……………… §4.6 Schwarz-Christoffel公式…………………(120) 习题四 …(123) 第五章微分几何与 Picard定理…………(126) §5.1度量与曲率……… 852 Ahlfors. Schwarz引理 (132) 85.3 Liouville定理的推广及值分布…………………(l34) §5.4 Picard小定理 (135) §5.5正规族的推广 ………(137) 5.6 Picard大定理… (141) 习题五 (143) 第六章多复变数函数浅引………… (145) s6.1引言 (145) §6.2 Cartan定理…… §6.3单位球及双圆柱上的全纯自同构群 §6.4 Poincare定理·…… (155) S6.5 Hartogs定理 …(156) 参考文献 (160)
第一章微积分 §1.1回顾微积分 复变函数论是在复数域上讨论微积分.如同对任何的数学进 行推广邡样,往往是一部分的内容可以没有多大困难地直接推广 得到,而另部分的内容却是推广后所独有的,在原来实数域理论 中所没有的,前部分当然重要,但人们的兴趣往往更集中在后 部分,因为常常是这部分才真正刻画了事物的本质 在这章中,先十分简单地回顾一下什么是微积分,然后看看 徵积分中哪些结果可以直接推广到复数域上去,而在以后的各章 中要着重讨论·些有本质不同、只在复数域上才特有的一些主要 性质与结果 什么是微积分?微积分三个部分听组成,即微分、积分以及 联系微分,积分成为·对矛的微积分基本定理,即 Newton 1 eibniz公式 众所周知若y=f(x)为定义在区间(a,b)上的一个函数,如 桌/mxf(x|h)-f(x) 在(a,b)屮的点x存在,则称f(x)在这 点可微记这板限值为或f(x)等,称为f(x)在点x的微商 称df-f(n)dx为f(x)在点x的微分如果在(a,b)上每点都 可微,则称函数在(a.b)上可微另·方亩,如果y=f(x)在{a,b 上:定义,将[a.b分为任意n个小区间a=x<x1<…<xnb,而 ,刈1,x,中任一点,如果令n→,且所有r1-1,x,](=1…, n)的长度都趋于零如果极限im>f()(x,-x-1)存在,则称
f(x)在[ab上可积记此极限值为|f(x)dx.这就是微积分最 最基本的定义及出发点,并且都有很明确的几何意义,微商是y f(x)所描绘的曲线在点(x,y)处的斜率,积分是曲线y=f(x) La,b]的曲边梯形的面积 微分、积分的概念古已有之,使之成为一门学问而发扬光大是 由于 Newton和 Leibniz证明了微积分基本定理,即指出了微分与 积分是··对矛盾,这条基木定理有两种相互等价的表述形式 微积分基本定理(微分形式)设函数f()在区间[a,b]上连 续,x是[a,b]中的一点,令 Φ(x)-|f()dt(a 则(x)在[a,b]中可微,并且φ(x)=f(x),即d(x)=f(x)dx 换句话说,若f(x)的积分是φ(x),则(x)的做分就是f(x)dx 微积分基本定理(积分形式)设更(x)是在[a,b中叮微,且 d(2等于连续函数f(x),那末成立着 f()dt=φ(x)-p(a)(a≤x≤b) 换句话说,若Φ(x)的微分是f(x)dx,则f(x)的积分就是φ(x) 有了这个定理,求积分成为求微分的逆运算,而微分与积分的 此性质相L对应,成为一件事物的两个方面例如 d(f(x)+8(x))d/(r2+ dg(r) d (f(r)+ g(r)dr- f(x)dx+ lg(x)dr 相对应; a(g)= 与分部积分法
fg'dr=fg-lgf'dx 相对应; 若w=f(y) (x),则 d f(g(r)) df dy dr dy dx 8 f(y)dy 柑对应等等.又例如微分中值定理:若∫(x)在{a,b」上可微,则在 [a,b」中存在点c,使得 f(b)-(u)-(c)(b a) 与积分中值定理:若∫(x)在[a,b」上连续,则在La,b]中存在…点 使得 f(r)dr-f(s)(b-a) 是相互对应的.又例如,网数的 Taylor展开,可以用微分来证明 之,并以微分形式表达其余项;也叮以用积分来证明之,并以积分 形式来表达其余项等等,不在此一一赘述了 在微积分中一般讨论初等函数及其复合函数,所谓初等函数 是指下面三类函数,即 1.幂函数x"a为实数;多项式a0+a1x+…+anr,a(i=0, 1…,n)为常数;有理分式x“”,这里b(=0,1 m),c(i=0,1,…p)为常数;以及其反函数 2.三角函数sinx,cosx等等及其反函数,如 arcsIn.,arccos. 等等 3.指数函数e2等等及其反函数lnr.log2x等等 而所谓函数f(x)的 Taylor展开式及 Fourier展开式不过是 用第1类中的多项式米逼近函数f(x),以及用第2类中的 Sinn