《数学分析》课程教学课件（讲稿）幂级数

lima,i=lima,ilx非px, 根据级数的根式判别法，当p|x长1时，级数 ∑ax1收敛.当px1时，级数发散.于是 1= ()当0<p<+o时，由p|xK1得幂级数(2)收敛半 径R= 0 ()当p=0时，对任何x皆有p|xK1,所以R=+o; (i当p=+oo时，则对除x=0外的任何x皆有 p|x>1,所以R=0. 前页 返回

前页 后页 返回 lim | | lim | | | | | |, n n n n n n n a x a x x      根据级数的根式判别法, 当  | | 1 x  时, 级数 0 | | n n n a x    收敛. 当  | | 1 x  时, 级数发散. 于是 (i) 当 0     时, 由  | | 1 x  得幂级数(2)收敛半 径 1 R ;   (ii) 当 时 对任何 皆有   0 , x  | | 1, x  所以 R  ; (iii) 当 时 则对除 外的任     , 0 x 何 皆有 x  | | 1, 0. x R   所以

00 定理14.2若幂级数∑4nx"的所有系数an≠0， n=0 设 lim n+1 =p(或lim/an=p) n-→o an (1) 则当P≠0时，R=;(2)当p=0时，R=+0; (3) 当p=+o时，R=0. 证明对级数∑4x”应用达朗贝尔判别法 lim lim h→oo a,x" =px 前页 后页 返回

前页 后页 返回 定理 14.2 若幂级数  n0 n n a x 的所有系数an  0, 设     n n n a a 1 lim (或    n n n lim a ) (1) 则当  0时,   1 R ; (3) 当  时, R  0. (2) 当  0时,R  ; 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法  n0 n an x n n n n n a x a x 1 1 lim    x a a n n n 1 lim      x

(1) 如果im =P(p≠0)存在， 由比值审敛法，当|xK时，级数∑1anx”I收敛， =0 从而级数∑4，x"绝对收敛. 当1x时，级数214，r1发散 1=0 并且从某个n开始|a1x1>nx"b|anx”0 从而级数∑a,x发散.收敛半径R=1; =0 前页 后页 返回

前页 后页 返回 (1) lim ( 0) , 如果 1   存在    n n n a a 由比值审敛法, , 1 当| | 时  x  | | , 0 级数 收敛  n n an x . 0 从而级数 绝对收敛  n n an x , 1 当| | 时  x  | | , 0 级数 发散  n n an x 并且从某个n开始 | | | |, 1 1 n n n an x  a x   | | 0 n an x . 0   n n 从而级数 an x 发散 ; 1  收敛半径 R 

(2)1 如果p=0,x≠0， 有品0a→级数远1收敛 00 ax n=0 00 从而级数∑anx"绝对收敛。收敛半径R=+oo; n=0 (3) 如果p=+o,x≠0， 有 a,x" →o(n→o),级数∑4nx必发散 1=0 收敛半径R=0. 前 后页 返回

前页 后页 返回 (2) 如果  0, x  0, 0 ( ), 1 1      n a x a x n n n n 有 | | , 0 级数 收敛  n n an x . 0 从而级数 绝对收敛  n n an x 收敛半径 R  ; (3) 如果  , x  0, . 0   n n 级数 an x 必发散 收敛半径 R  0. ( ), 1 1       n a x a x n n n n 有

例1求下列幂级数的收敛域： 2- ； n=1 n=l 解（①）p=ima=im n =1 n-→0∞ Qn n-→on+1 .R=1 当=1时，级数为2-” 00 该级数收敛； n=l 当x=-时， 级数为 9 该级数发散； n=1 n 故收敛域是(-1,1. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 例1 求下列幂级数的收敛域: 解 (1) n n n a a 1 lim     1 lim    n n n  1 R  1 当x  1时, 当x  1时, , ( 1) 1     n n n 级数为 , 1 1   n n 级数为 该级数收敛; 该级数发散; (1) ( 1) ; 1 n x n n n     (2) ( ) ; 1     n n nx ; ! (3) 1   n n n x 故收敛域是(1,1]