3M,使得anx”≤M(n=0,1,2,） axepxg=a ≤M x 当 <1时，等比级数∑M 收敛， n=0 o .∑a“收敛，即级数∑0x收敛 =0 前页 后页 返回
前页 后页 返回 ( 0,1,2, ) a x0 M n n 使得 n M, n n n n n n x x a x a x 0 0 n n n x x a x 0 0 n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M , 0 收敛 n n an x ; 0 即级数 收敛 n n an x
(2)假设当x=x时发散， 而有一点x适合x>xo使级数收敛， 由()结论则级数当x=飞时应收敛， 这与所设矛盾。 几何说明 收敛区域 发散区域-R R 发散区域 前页 后 返回
前页 后页 返回 (2) , 假设当x x0时发散 而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛, 则级数当x x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域
由定理14.1知道 如果幂级数∑4nx”不是仅在x=0一点收敛， n=0 也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全 确定的正数R存在，它具有下列性质： 当x<R时，幂级数绝对收敛； 当x>R时，幂级数发散； 当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散 前 后项 返回
前页 后页 返回 如果幂级数 n0 n n a x 不是仅在x 0一点收敛, 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散. 由定理14.1知道 确定的正数R存在,它具有下列性质: 也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全
定义：正数R称为幂级数的收敛半径， 开区间（一R,P)称为幂级数的收敛区间 收敛域是(-R,P),[-R,R),(-R,R]-R,]之一 规定（少）幂级数只在x=0处收敛， R=0, (2）幂级数对一切x都收敛， R=+0,收敛域(-0，十oo). 问题 如何求幂级数的收敛半径？ 前页 后页 返回
前页 后页 返回 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. R 0, [R,R),(R,R],[R,R] 之一. 规定 R , 收敛域(,). 问题 如何求幂级数的收敛半径? (1) 幂级数只在x 0处收敛, (2) 幂级数对一切x都收敛, 收敛域是 开区间 (R,R) 称为幂级数的收敛区间. (R,R)
定理14.2对于幂级数(2)，若 imve.j-p. (3) 则当 ()0<p<+o时，幂级数(2)的收敛半径R= ()p=0时，幂级数(2)的收敛半径R=+0; (i)p=+o时，幂级数(2)的收敛半径R=0. 证对于幂级数∑1anx”b由于 1=0 limalimalxplxk 前页 后页 返回
前页 后页 返回 定理14.2 对于幂级数(2), 若 lim , (3) n n n a 则当 1 (i) 0 , (2) ; R 时 幂级数 的收敛半径 (ii) 0 , (2) ; 时 幂级数 的收敛半径 R (iii) , (2) 0. 时 幂级数 的收敛半径 R 证 0 | |, n n n 对于幂级数 由于 a x lim | | lim | | | | | |, n n n n n n n a x a x x