叠加原理3 设u(M,M)满足线性方程（线性定解条件）：Lu=f(M,Mo),其中，M与M,分别为 自变量组与参数组。且积分U()=∫u(M,M,)dM。收敛，同时L能够与积 号交换次序，那么：LU(M)=∫f(M,Mo)dM。· i证明：UD=∫(M,M,)dM。→LUM)=Lu(M,Mo)aM。 =∫Lu(M,M)dM, LUM=∫f(M,Mo)dM, Lu=f(M,M)
设u(M,M0 )满足线性方程(线性定解条件)： ,其中，M与M0分别为 自变量组与参数组。且积分 收敛，同时L能够与积 叠加原理3 0 Lu f M,M ( ) , 0 0 v U M u M M dM 号交换次序，那么： ( ) , 0 0 。 v LU M f M M dM 证明： ( ) , 0 0 v U M u M M dM ( ) , 0 0 v LU M L u M M dM , 0 0 v Lu M M dM 0 Lu f M,M ( ) , 0 0 v LU M f M M dM
(二)解的结构定理 解的结构定理：非齐次线性偏微分方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的 通解与非齐次方程的一个特解之和。 例1求泊松方程△，u=12x2-12y2的一般解。 解：根据方程的结构观察，令方程特解形式为：u=a+by 将其代入方程求得：u1=x4y 5=x 下面求对应齐次方程通解。作变换： =-y →4g-4=0 →5，)=f(5+n)+f6(5-)→ 4(x,y)=f(x-y)+f5(x+y) 所以，原方程通解为：U(x,y)=(x-y)+f(x+y)+x4-y
解的结构定理：非齐次线性偏微分方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的 通解与非齐次方程的一个特解之和。 (二) 解的结构定理 例1 求泊松方程 2 2 的一般解 。 2 u x y 12 12 解：根据方程的结构观察，令方程特解形式为： u1=ax4+by4 将其代入方程求得：u1 = x 4 -y 4 下面求对应齐次方程通解。作变换： x iy u u 0 1 2 u f f ( , ) ( ) ( ) 1 2 u x y f x iy f x iy ( , ) ( ) ( ) 所以，原方程通解为： 。 4 4 1 2 U x y f x iy f x iy x y ( , ) ( ) ( )