3.本性奇点 如果洛朗级数中含有无穷多个z-列的负幂项, 那么孤立奇点z0称为∫(x)的本性奇点 例如,e=1+z1+z-2+…+zn+…, 含有无穷多个的负幂项(0<z<) 所以z=0为本性奇点,同时lme不存在 特点:在本性奇点的邻域内imf(z)不存在且不 z→) 为
3. 如果洛朗级数中含有无穷多个 0 z − z 那么孤立奇点 0 z 称为 f (z) 的本性奇点. 的负幂项, 例如， , ! 1 2! 1 1 1 2 1 z = + − + − ++ z −n + n e z z 含有无穷多个z的负幂项 (0 z ) 特点: 在本性奇点的邻域内 lim ( ) 0 f z z→z 不存在且不 为 . 所以 z = 0为本性奇点， 同时 z z e 1 0 lim → 不存在. 本性奇点
综上所述: 孤立奇点洛朗级数特点 lim f(z) →>z0 可去奇点无负幂项 存在且为 有限值 含有限个负幂项 m阶极点关于(z-)的最高幂 为(z-z0)m 本性奇点含无穷多个负幂项不存在 且不为∞
综上所述: 孤立奇点 可去奇点 m阶极点 本性奇点 洛朗级数特点 lim ( ) 0 f z z→z 存在且为 有限值 不存在 且不为 无负幂项 含无穷多个负幂项 含有限个负幂项 1 0 ( ) − z − z m z z − ( − ) 0 关于 的最高幂 为
二、函数的零点与极点的关系 1零点的定义不恒等于零的解析函数∫(x)如果 能表示成∫(z)=(z-z0)"q(z),其中p(z)在z 解析且q(z0)≠0,m为某一正整数,那么z称为 f(z)的m阶(级)零点 例6z=0是函数f(z)=(z-1)3的一级零点, z=1是函数f(z)=z(z-1)的三级零点 注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的
二、函数的零点与极点的关系 1.零点的定义 不恒等于零的解析函数 f (z) 如果 能表示成 ( ) ( ) ( ), 0 f z z z z m = − (z) 0 其中 在 z ( ) 0, 解析且 z0 m为某一正整数, 那么 0 z 称为 f (z) 的 m 阶(级)零点. 例6 z = 0是函数 f (z) = z(z − 1) 3的一级零点， 注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的. 1 ( ) ( 1) . z = 是函数 f z = z z − 3的三级零点
2零点的判定 如果∫(x)在z解析,那么为f(x)的m阶 零点的充要条件是 f((zn)=0,(n=0,1,2,…m-1);f(m(z)≠0 证(必要性)如果z为f(x)的m阶零点 由定义:f(z)=(z-列)"q(x) 设p(x)在乙的泰勒展开式为 (z)=c+c1(z-n)+c2(z-n)2+
2.零点的判定 零点的充要条件是 证 (必要性) 由定义: ( ) ( ) ( ) 0 f z z z z m = − 设 0 (z)在z 的泰勒展开式为: ( ) ( ) ( ) , 2 z = c0 + c1 z − z0 + c2 z − z0 + 0 如果 f (z) 在 z 解析, 那么 z0 为 f (z) 的 m 阶 如果 z0 为 f (z) 的 m 阶零点 ( ) 0, ( 0,1,2, 1); 0 ( ) f z = n = m − n ( ) 0. 0 ( ) f z m
其中Co=q(z0)≠0, 从而f(z)在乙的泰勒展开式为 f(x)=c0(z-)+c1(z-x)m++c2(z-x0)m+2+ 展开式的前m项系数都为零,由泰勒级数的系数 公式知:f(z)=0,(n=0,1,2,…m-1); 并且/m(cn Cn≠0. 充分性证明略
从而f (z)在z0的泰勒展开式为 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) + = − + − m m f z c z z c z z + c2 (z − z0 ) m+2 + 其中 ( ) 0, c0 = z0 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数 公式知: ( ) 0, ( 0,1,2, 1); 0 ( ) f z = n = m − n 并且 0. ! ( ) 0 0 ( ) = c m f z m 充分性证明略