例4说明z=0为e-1 的可去奇点 解 e 2 (1+乙+,x+…+,z"+…-1) 1+z+…+z"+…,0<z<+0 无负幂项 e2-1 所以z=0为 的可去奇点 另解因为ms2-1 mme= 0 z→>0 所以z=0为 e 的可去奇点
例4 说明 z = 0 为 z e z −1 的可去奇点. 解 = − z e z 1 , ! 1 2! 1 1 = + ++ z n−1 + n z 0 z + 所以 z = 0 为 的可去奇点. z e z −1 无负幂项 另解 z z z z e z e 0 0 lim 1 lim → → = − 因为 所以 z = 0 为 的可去奇点. z e z −1 1) ! 1 2! 1 (1 1 2 + + ++ +− n z n z z z = 1
2.极点 1)定义如果洛朗级数中只有有限多个z-z的 负幂项,其中关于(z-3)的最高幂为(z-列)", 那么孤立奇点z0称为函数f(x)的m阶(级极点 即f(2)=Cm(z-列)+…+C1(z-)+cn+c1(x-zn)+… (m≥1,Cm≠0 或写成∫(z) P(z) z-2 P(z=C_m+Cm(z-zo+C_m+2 (z-zo+ 特点:在z-0<a是解析函数且(z)≠0
2. 极点 1 0 ( ) − z − z ( ) , 0 m z z − 其中关于 的最高幂为 − 那么孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的 m 阶(级)极点. 1) 定义 0 如果洛朗级数中只有有限多个 z − z 的 负幂项, 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) − − − − f z = c z − z + + c z − z m 即 m ( 1, 0) −m m c + c0 + c1 (z − z0 ) + ( ) , ( ) 1 ( ) 0 z z z f z m − 或写成 = (z) = c−m + c−m+1 (z − z0 ) + c−m+2 (z − z0 ) 2 + , 特点: 在z − z0 内是解析函数 ( ) 0 . 且 z0
说明:(1)若f(x)能表示为f(x)=(2)的形式 Z-Z 0 其中p(z)在z-<.呐是解析函数且(z0)≠0 则z为f(z)m阶极点 (2)如果为函数f(z)的极点,则 lim f(2)=00. 3z+2 阶极点又 例5有理分式函数f(z) 称简单极点 (z+2) z=0是二阶极点,乙=-2是一阶极点
说明: (1) (2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 则 lim ( ) . 0 = → f z z z 例5 有理分式函数 , ( 2) 3 2 ( ) 2 + + = z z z f z z = 0是二阶极点, z = −2 是一阶极点. 一阶极点又 称简单极点 ( ) , 其中 z 在z − z0 内是解析函数 ( ) 0 . 且 z0 若 能表示为 m 的形式， z z z f z f z ( ) ( ) ( ) ( ) − 0 = 则z0 为 f (z)的m阶极点．
2)极点的判定方法 1)由定义判别 f(x)的洛朗展开式中含有z-的负幂项为有限项 (2)由定义的等价形式判别 是f(z)的m阶价极点e(z)=() 0 分lim(z-x)"∫(z)=C-m≠0 z→)z 其中q(z)在的邻域内解析,且q(z)≠0 (3)利用极限lm∫(x)=判断 →>z0
2)极点的判定方法 f (z) 的洛朗展开式中含有 z − z0 的负幂项为有限项． lim( ) ( ) 0. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 − = − = − → m m z z m z z f z c z z z z f z m f z 是 的 阶极点 其中 (z) 在 z0 的邻域内解析, 且 ( ) 0. z0 (1) 由定义判别 (2) 由定义的等价形式判别 (3) 利用极限 = → lim ( ) 0 f z z z 判断
课堂练习 求 的奇点,如果是极点,指出它的级数 z-z2-z+1 答案由于 z3-z2-z+1(z+1)(z-1) 所以:z=-1是函数的一级极点, z=1是函数的二级极点
课堂练习 求 1 1 3 2 z − z − z + 的奇点, 如果是极点, 指出它的级数. 答案 = − − + 1 1 3 2 z z z 由于 所以: z = −1是函数的一级极点, z = 1是函数的二级极点. , ( 1)( 1) 1 2 z + z −