南阳师范学院：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）10.2 常数项级数的审敛法

第二节常数项级数的审敛法 正项级数 及审敛性 交错级数 绝对收敛 及审敛性 条件收敛

第二节 常数项级数的审敛法 交错级数 及审敛性 正项级数 及审敛性 绝对收敛 条件收敛

正项级数及其审敛法 1正项级数的定义： 若4n≥0(n=1,2,3,),则∑4，称为正项级数 正项级数的各项 正项级数的部分和 都是正数零 数列单调递增 2.正项级数收敛的充要条件 定理1正项级数收敛的充要条件是部分和数列sn有界 问题1：若0≤n≤yn=1,2,),问 (1)当级数收敛时，级数4，是收敛还是发散？ (2)当级数，发散时，级数，是收敛还是发散？

一、 正项级数及其审敛法 1.正项级数的定义： 正项级数 的部分和 数列单调递增 若 u n n   0 1,2,3, ,   ，则  n1 un 称为正项级数 2. 正项级数收敛的充要条件 正项级数的各项 都是正数零 定理 1 正项级数收敛的充要条件是部分和数列 n s 有界 问题 1：若0 ( 1,2, ) n n     u v n ，问 （1） 当级数   n1 n v 收敛时，级数   n1 n u 是收敛还是发散？ （2） 当级数 1 n n u    发散时，级数 1 n n v    是收敛还是发散？

正项级数及其审敛法 分析：设n与u,的部分和数列分别为w, 若级数，收敛 w有界，即存在正数M, 使得w,≤M sn≤M.E 即2，的部分和数列有界.从而u,收敛 三 3.比较审敛法口诀：大收敛，则小收敛 小发散，则大发散 设4n和2yn都是正项级数且4，≤y.(n=1,2,)设4n和yn都是正项级数且wn≤，(k>0,n>N (1) 若级数收敛，则级数2u收敛； (1) 若级数收敛，则级数u收敛； (2) 若级数4，发散，则级数y,发散 (2) 若级数4发散，则级数，发散

一、 正项级数及其审敛法 分析：设   n1 n v 与 1 n n u    的部分和数列分别为 , w s n n 1 1 n n n n n n i i s u v w        若级数  n1 n v 收敛 wn 有界，即存在正数M ， 使得w M n  n s M .即 1 n n u    的部分和数列有界.从而 1 n n u    收敛 3. 比较审敛法 设   n1 n u 和   n1 n v 都是正项级数 且 ( 1,2, ) n n u v n    （1） 若级数   n1 n v 收敛 则级数   n1 un 收敛 （2） 若级数 1 n n u    发散 则级数 1 n n v    发散 设   n1 un 和   n1 n v 都是正项级数 且 ( 0, ) n n u kv k n N    （1） 若级数   n1 n v 收敛 则级数   n1 un 收敛 （2） 若级数 1 n n u    发散 则级数 1 n n v    发散 口诀：大收敛，则小收敛 小发散，则大发散

例1讨论p-级数。p>0的收敛性. p≤1 D>1 1 设∑ 的部分和数列为s =2 (n-1)p-I =ks∫ (n+1) ↓ 发 lims,=lim -→0 (n+1)P- 发散 收敛， 由比较审敛法可知乃」 h 收敛 注记3 p-级数是与广义积分具有相同的敛散性

例 1 讨论 p -级数 ( 0) 1 1     p n p n 的收敛性  p 1 p 1 1 1 p n n  1 1 n n   发散 1 1 1 1 1 n n p p p n n dx dx n n x       1 1 1 1 1 1 1 ( 1) p p p n p n n             1 1 2 1 1 ( 1) p p n n s n n             设 的部分和数列为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 ( 1) 1 1 ( 1) n p p p p p p s n n n                                     1 1 lim lim 1 1 ( 1) n p n n s n              1 1 2 1 1 1 1 ( 1) p p p n n n n n                 收敛，由比较审敛法可知 收敛 1 1 p n n    发散 注记 3 p -级数 1 1 p n n    与广义积分 1 1 d p x x   具有相同的敛散性

正项级数及其审敛法 注记1：比较审敛法的前提是必须有一个已知敛散性的级数作为参考级数 常用的基本级数是等比级数或调和级数或p级数 (1)当4<1时，等比级数∑g收敛；当4=1时，等比级数三g发散； (2)当P≤1一级数空发散：智)1级数空品收敛 注记2利用比较审敛法判断正项级数敛散性的思路 第一步：对给出的级数的通项进行适当的放大与缩小得到一个新数列 第二步：判断以新的的数列为通项的级数的敛散性 第三步：利用“大者收敛则小者也收敛，小者发散则大者也发散“得出结论

一、 正项级数及其审敛法 注记 1：比较审敛法的前提是必须有一个已知敛散性的级数作为参考级数 常用的基本级数是等比级数或调和级数或 p-级数 （1）当 q 1 时，等比级数 1 n n q    收敛；当 q =1 时，等比级数 1 n n q    发散； 注记 2 利用比较审敛法判断正项级数敛散性的思路 第一步：对给出的级数的通项进行适当的放大与缩小得到一个新数列 第二步：判断以新的的数列为通项的级数的敛散性 第三步：利用 “大者收敛则小者也收敛，小者发散则大者也发散“得出结论 （2）当 p 1时， p-- 级数 1 1 p n n    发散；当 p 1时， p-- 级数 1 1 p n n    收敛 （2）