函数的复合：设函数u=f(x):D,→R,，函数y=g(u):D，→R。若R,≤D，，定义函数gof:D,→R。，Vxe Df ，(gof)(x)=g(f(x)) 。函数gof称为函数f与g的复合函数。复合函数gof的自变量、应变量和中间变量分别是x、和u
• 函数的复合： 设函数 ： ，函数 ： 。 若 ，定义函数 ： ， ， 。 函数 称为函数 与 的复合函数。 复合函数 的自变量、应变量和中间变量分别是 、 和
注：当条件R，二D，不满足时，可通过缩小D，以达到可以复合的目的。1.-1≤x<0x≤00≤x<1 ,求gofg(x例 已知f(x)：2x +1,x>0Inx,e-l≤x<11,1,-1≤ f(x)<02 ln x +1,1≤x<e 解gof[2 f(x)+1,0≤ f(x)<12x2 +1,-1<x≤0
注：当条件 不满足时，可通过缩小 以达到可以复合的目的。 例 已知 ， ，求 。 解
例已知函数f：D，→R,存在反函数f-，求f-of和fof-1解Vx, E Df , Jo = f(xo)台x, = f-I(yo) ,所以(f-1 o f)(x)= f-1(f(x,))= f-l(yo) = Xo 。3元:?arcsinsin5
解 例 已知函数 ： 存在反函数 ，求 和 。 ， ， 所以
函数的性质(1）有界性：若函数的值域R，是有界数集，即EM >0 ,VxEDf ,I f(x)≤M ,就称函数f是有界函数，而M称为是f的一个界。类似定义函数有上界、有下界。定理：函数厂有界当且仅当厂有上界且有下界
函数的性质 （ 1）有界性： 类似定义函数有上界、有下界。 若函数 的值域 是有界数集，即 就称函数 是有界函数，而 称为是 的一个界。 定理：函数 有界当且仅当 有上界且有下界。 ， ，
否定命题：函数无界的定义。例证明函数y=xsinx无界。元解，则VM>0 ，取x=([MI+1)元+-2元>[MI+1>M,Ix, sin x =| x。 /=([MI+1)元 +-2所以函数y=xsinx无界。注：以上是正面证明。这一结论采用反证法证明也不难
否定命题：函数无界的定义。 解 例 证明函数 无界。 ，取 ，则 ， 所以函数 无界。 注：以上是正面证明。这一结论采用反证法证明也不难