《初等数论》各章习题参考解答（部分题目数学符号有乱码，仅参考）

《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解：因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是111111111，所以满足条件的最小正整数a=11111111100，2.解：3在100!的分解式中的指数1001100103(100) =[]+=33+11+3+1= 48,0+081在100!的分解式中的指数2(100 [109][109] [109] [10] [10]=50+25+12+6+1=94,:1001=2.348. k=47.348.k=12*7.3k,(k,6)=1 。故nmax=47，Mmm=3k，(k,6)=1。故当M最小值是3的倍数，但不是2的倍数。3.解：x"+2"+1x1+21+1等价于x"+2"+1(x-2)2"+(x-1)，从而x33（n就不会太大，存在反向关系）。由（x-2)2"+(x-1)？x"2"+1，得(x- 2)(2"+1)? ×2",即(x- 2)(1+)2 ()1。若n*2，则(x-2)?(x2)(+)(）121，导致-5x+14?0，无解。所以，只有n=1，x+33x-5？x314，只能是x+3=7,14，从而x=4,11。综上所述，所求正整数对(x,n)=(4,1)(11,1)。4.解：按题意，m>n>2，记m=n+k,k?N；则d"+α?-1ak+a-1?a"α-1*(a"+α-1)-αk+2+ak+a-1? a" α- 1a+2- d- a+1? a" α- 1a+d'-1,故存在无穷多个正整数a满足α"+α-a++a-1。作带余除法：存在整系数多项式g(x)、r(x)，使得1

1 《初等数论》各章习题参考解答 第一章习题参考解答 1.解:因为 25 的最小倍数是 100,9 的最小倍数是 111111111，所以满足条件 的最小正整数 。 2.解：3 在 的分解式中的指数 ， 在 的分解式中的指数 ， 。 故 ， ， 。 故 当 最小值是 3 的倍数，但不是 2 的倍数。 3.解： 等价于 ，从而 （ 就 不 会 太 大 ， 存 在 反 向 关 系 ）。 由 ， 得 ，即 。 若 ，则 ，导致 ，无 解。所以，只有 ， ，只能是 ，从而 。 综上所述，所求正整数对 。 4.解：按题意， ，记 ；则 ， 故 存在无穷多个正整数 满足 。 作带余除法：存在整系数多项式 ，使得 a =11111111100 100! ( ) 100 100 100 100 3 100! 33 11 3 1 48 3 9 27 81         = + + + = + + + =                 100!( ) 100 100 100 100 100 2 100! 50 25 12 6 1 94 2 4 8 16 64           = + + + + = + + + + =                      ( ) 94 48 47 48 47 100! 2 3 4 3 12 3 , ,6 1 =   =   =  = k k k k max n = 47 min M k = 3 (k,6 1 ) = M 1 1 2 1 2 1 n n n n x x + + + + + + 2 1 2 2 1 ( ) ( ) n n n x x x + + - + - x ³ 3 n ( 2 2 1 2 1 ) ( ) n n n x x x - + - ? + ( 2 2 1 2 )( ) n n n x x - + ? ( )( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 n n x x - + ? n ³ 2 ( ) ( )( ) ( ) 2 5 1 2 2 1 1 1 4 2 4 2 n n x x x x - ? + ? ? 2 x x - + ? 5 14 0 n = 1 x x x + - ? 3 3 5 314 x+ =3 7,14 x = 4,11 (x n, 4,1 11,1 )= ( )、( ) m n > > 2 * m n k k N = + ? , ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n k n k n k k a a a a a a a a a a a a + + + - + - ? - + - - + + - 2 2 2 1 1 1 1 1 n k k n k k a a a a a a a a a + + ? - - - + ? - + - a 2 1 1 1 n k k a a a a + + - + - q x r x ( )、 ( )

x+x.1=(x"+x2.1)g(x)+r(x)，其中r(x)=0或r(g)的次数低于n。=0，存在R>0，使得当x>R时，总若()的次数低于"，则,1；按题意，存在无穷多个正整数x=，使得有x+ x2. 1r(x)t++ ±-1= q(x)+ -+？，即()=0，从而x"+x-1xk+1+ x- 1=(x"+x2- 1)q(x),当有k+1? n。多项式x+×2-1存在零点ai(0,1)，满足α1+α*-1=α"+a2-1=0，即ak+l+a*=a"+a?。若k+1>n，则k>2，导致0=αk+l+a-1<a"+a2-1=0，矛盾！故k+1=n，k=2，n=3，m=4；满足题设的正整数对(mn)=(4,3)。5.解：记=k，则k?k+1，即？n（k+1)。若n？111331，则k=n？11，记a、b、gi分别满足：2°？k2a*，2°？k2h+，2"？k2+，按题意，有22°创B°5"创711n，所以2k。k?kn炒2°3”创5”7?1177创号30((+> 只状由11，可得k？(k1)，从而n>3030盾！1满足题设的正整数nf1330。下面分段求解。若k=？9，则5创78?9|m，即2520|m，矛盾！若k=额=8，则3创578n840|n，从而k=吵8409>8，矛盾！若k=7，则3创45篆7/n420n，但n<840，所以最大的正整数n=420。6.证明：当n=1时，存在唯一的x=2，则有2x；当n=2时，存在唯一的x=52，有2；当n=3时，存在唯一的=552，有2。假设当n=k(k？3)时，存在由2和5组成的唯一一个十进制k位正整数x，满足2x。考查两个k+1位正整数：2?10°x和5?10%x，由归纳假设，2

2 ，其中 或 的次数低于 。 若 的次数低于 ，则 ，存在 ，使得当 时，总 有 ；按题意，存在无穷多个正整数 ，使得 ，即 ，从而 ，当有 。 多项式 存在零点 ，满足 ， 即 。 若 ，则 ，导致 ，矛盾！ 故 ， ， ， ；满足题设的正整数对 。 5.解：记 ，则 ，即 。 若 ，则 ，记 分别满足： ， ， ，按题意，有 2 ，所以 。 由 ，可得 ，从而 ，矛 盾！ 满足题设的正整数 。 下面分段求解。 若 ，则 ，即 ，矛盾！ 若 ，则 ，从而 ，矛盾！ 若 ，则 ，但 ，所以最大的正整数 。 6.证明：当 时，存在唯一的 ，则有 ；当 时，存在唯一的 ， 有 ；当 时，存在唯一的 ，有 。 假设当 时，存在由 2 和 5 组成的唯一一个十进制 位正整数 ， 满足 。考查两个 位正整数： 和 ，由归纳 假设， ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 k k n x x x x q x r x + + - = + - + r x( )= 0 r x( ) n r x( ) n ( ) 2 lim 0 1 n x r x ? ? x x = + - R > 0 x R > ( ) 2 1 1 n r x x x < + - x a = ( ) ( ) 1 * 2 2 1 1 1 k k n n r x x x q x N x x x x + + - = + ? + - + - r x( )= 0 ( ) ( ) 1 2 1 1 k k n x x x x q x + + - = + - k n + ?1 2 1 n x x + - a Î (0,1) 1 2 1 1 0 k k n a a a a + + - = + - = k k n 1 2 a a a a + + = + k n + >1 k > 2 1 2 0 1 1 0 k k n a a a a + = + - < + - = k n + =1 k = 2 n = 3 m = 4 (m n, 4,3 )= ( ) 3轾犏n k = 臌 3 k n k ? + 1 ( ) 3 3 k n k ? + 1 3 n ? 11 1331 3 k n = ? 轾犏 11 臌 * a b g 、 、 Î N 1 2 2 k a a + ? 1 2 2 k b b + ? 1 2 2 k g g+ ? 2 3 5 7 11 n a b g 创 创 77 3 2 3 5 7 11 77 2 3 5 30 kkk n k 炒 创 a b g ? 创 ? ? k ³ 11 ( ) 11 1 12 k k ? ( ) ( ) 3 3 3 3 3 77 77 11 1 1 30 30 12 n k k k n > 壮 ? > + > \ n £ 1330 3 k n = ? 轾犏 9 臌 5 7 8 9 创 ? n 2520 n 3 k n = = 轾犏 8 臌 3 5 7 8 840 创 篡 n n 3 3 k n = 轾 轾 犏 犏吵 840 9 8 > 臌 臌 k = 7 3 4 5 7 420 创 篡 n n n < 840 n = 420 n = 1 1 x = 2 1 1 2 x n = 2 2 x = 52 2 2 2 x n = 3 3 x = 552 3 3 2 x n k k = ? ( 3) k k x 2 k k x k + 1 2 10k k ? x 5 10k k ? x

2210与5219都是正整数，且5~19.2219-3.5*（奇数），2k2k2k2*则2？10*x和5?10＊x中必有一个是2k+的倍数，因此，存在由2和5组成的k+1位十进制正整数x+1，满足2**x+1°如果x+也是由2和5组成的满足条件的十进制k+1位正整数，记其最左边那一位数字为al(2,5)，则x+=a?10x，其中x是由2和5组成的十进制k位正整数，由2+k+以及2a10°，得到2x。由归纳假设，x是唯一满足条件的由2和5组成的满足2x的十进制k位正整数，所以x=x。故x+存在且唯一。由数学归纳法，命题得证。7.证明：任意三个正整数中必有两个数之和是偶数，所以任取10个互不相同的正整数，其中必有5对(x)(i=1,2,3,4,5)满足x+y=2s(i=1,2,3,4,5)。对五个正整数s,s2,,S4,，如果被3除得的余数中0,1,2均出现，则把余数为0,1,2的各取一个，得到三个数之和是3的倍数；如果这5个正整数被3除得的余数至多出现0,1,2中的两个，则由抽屉原理，其中必有3个数除以3的余数相同，这3个数之和是3的倍数。所以，任给10个正整数，其中必有6个数之和是6的倍数。8.解法一：方程的正整数解(x,y,=)=(x,x,1)(x?N)都满足xz,以=x,=y。解法二：构造方程的正整数解(xJ,2)=(ab,bc,ca)(a、b、c?N)，代入方程，得ab-bc+ca=1,即(c-a)b=ca-1，令c-a=1，得到b=ca-1=α2+a-1，所以,方程有无穷多个正整数解(x,y,z)=(a(a+a+1),(a+a+1)(a+1),(a+1)a)(a?N)。9.,解：(-)-)a-)-(b- ce-,X-)，由对称性，不妨设abc1#ab?c，由abc(ab- 1)(bc- 1)(ca- 1)? abc(ab 1)(-bc- ca+ 1)? abc(ab bc+ ca- 1),abc?ab bc+ca-1<ab+bc+ca?(a b+a)c,从而ab<2a+b<3b，a<3。当a=1时，bc(bc+b+c-1)，即bcl(b+c-1)，从而bc<b+c?2c，b<2。所以，(a,b,c)=(11c)(c? N)。当a=2时,2bc(2b+bc+2c-1)，从而bc?2b2c<4c,b<4,b=2,3。若b=2,3

3 与 都是正整数，且 （奇数）， 则 和 中必有一个是 的倍数，因此，存在由 2 和 5 组成的 位十进制正整数 ，满足 。 如果 也是由 2 和 5 组成的满足条件的十进制 位正整数，记其最左边 那一位数字为 ，则 ，其中 是由 2 和 5 组成的十进制 位 正整数，由 以及 ，得到 。由归纳假设， 是唯一满足条件的 由 2 和 5 组成的满足 的十进制 位正整数，所以 。故 存在且唯一。 由数学归纳法，命题得证。 7.证明：任意三个正整数中必有两个数之和是偶数，所以任取 10 个互不相 同的正整数，其中必有 5 对 满足 。对五个 正整数 ，如果被 3 除得的余数中 0,1,2 均出现，则把余数为 0,1,2 的各 取一个，得到三个数之和是 3 的倍数；如果这 5 个正整数被 3 除得的余数至多出 现 0,1,2 中的两个，则由抽屉原理，其中必有 3 个数除以 3 的余数相同，这 3 个 数之和是 3 的倍数。所以，任给 10 个正整数，其中必有 6 个数之和是 6 的倍数。 8.解法一：方程的正整数解 都满足 。 解法二：构造方程的正整数解 ，代入方程，得 ，即 ，令 ，得到 ，所以， 方程有无穷多个正整数解 。 9. 解 ： ， 由 对 称 性 ， 不 妨 设 ，由 ， ，从而 ， 。 当 时， ，即 ，从而 ， 。 所以， 。 当 时， ，从而 ， ， 。若 ， 2 10 2 k k k ? x 5 10 2 k k k ? x 5 10 2 10 3 5 2 2 k k k k k k k ? ? x x - = ? 2 10k k ? x 5 10k k ? x 1 2 k+ k + 1 k 1 x + 1 1 2 k k x + + ' k 1 x + k + 1 a Î {2,5} ' ' 1 10k k k x a x + = ? ' k x k 1 ' 1 2 k k x + + 2 10 k k a ´ ' 2 k k x k x 2 k k x k ' k k x x = k 1 x + ( , 1,2,3,4,5 )( ) i i x y i = 2 1,2,3,4,5 ( ) i i i x y s i + = = 1 2 3 4 5 s s s s s , , , , ( ) ( )( ) * x y z x x x N , , , ,1 = ? x yz y zx z xy , , ( ) ( )( ) * x y z ab bc ca a b c N , , , , = ? 、 、 ab bc ca - + = 1 (c a b ca - = - ) 1 c a - = 1 2 b ca a a = - = + - 1 1 ( ) ( ( ) ( )( ) ( ) )( ) 2 2 * x y z a a a a a a a a a N , , 1 , 1 1 , 1 = + + + + + + ? ( )( )( ) ( 1 1 1 )( )( ) 1 1 1 ab bc ca b c a a b c abc - - - - - - = 1＃abc ? abc ab bc ca abc ab bc ca abc ab bc ca ( - - - ? - - + ? + - 1 1 1 1 1 1 )( )( ) ( )( ) ( ) abc ab bc ca ab bc ca a b a c ? + - < + + ? + 1 ( ) ab a b b < + < 2 3 a < 3 a = 1 bc bc b c ( + + - 1) bc b c ( + - 1) bc b c c < + ? 2 b < 2 ( ) ( )( ) * a b c c c N , , 1,1, = ? a = 2 2 2 2 1 bc b bc c ( + + - ) bc b c c ? < 2 2 4 b < 4 b= 2,3 b = 2

则4c4c+3，无解；若b=3，则6c5c+5，cf5，检验，得(a,b,c)=(2,3,5)。综上所述，得满足条件的所有正整数三元组（a,bc）如下：(1,1,c)(1,c,1)(c,1,1)(tI N) 以及(2,3,5)(2,5,3)(3,2,5)(3,5,2)(5,2,3)(5,3,2) 。10.解：记(n)=++L+(n?N")，则()=1，当n2时，a)=n+ 3 D(-1) + 的必要条件是(n- 1)n-1n+1?n12，即n=2.3。检验：(2)=2+=3，(3)=3++号=5。综上所述，所求正整数n=1,2,3。11.解：S,=1,S,=2；又Sk+I=(1+3+5+L+2k+1.1)+S,=S,+4*，所以，当4(1- 4)n32时，有S,遍(S-S)+S=""4+2= 42+2=42；所以，对一切1- 4正整数n，都有s,=42。312.分析：目标在于证明“su-tv？0,ln，且（n,su-tv)>1”，为此，可利用已知条件构建含su-tv的恒等式，再作分析。解：按题意，有n =(+ )(u?+)=-(su- t) +(sv+ tu) =(su+ t)+(sv- tu)\n?su=su+tv，n?su=su-tv。又 (su+ t)(su- )=su- ty-(s+)u- (u+v)r=(u?- )n? 0(modn),一若su-tv=n，则s+tu=0，必有v=t=0，从而s=n=u，矛盾！若su-t=0，则su=tv，而由题意su3tv，所以，必有s=t,u=v，从而，有252=n=2u，即s=u，矛盾。若su-tv=1，则必有nsu+tv，从而su+tv=n，sy-tu=0，即sv=tu，再由s>u，必有“t>”或者“t==0”前者导致n=+>+=n，后者导致s=n=u，两者都不成立。故su-tv？1，且su+tv<n，从而n不是su+tv的因子，所以(su- tv,n)> 1。4

4 则 ，无解；若 ，则 ， ，检验，得 。 综上所述，得满足条件的所有正整数三元组 如下： 以及 。 10.解：记 ，则 ，当 时， 的 必 要 条 件 是 ，即 。检验： ， 。 综上所述，所求正整数 。 11.解： ， ；又 ，所以，当 时，有 ；所以，对一切 正整数 ，都有 。 12.分析：目标在于证明“ ，且 ”，为此，可利用已知 条件构建含 的恒等式，再作分析。 解：按题意，有 ， ， 。 又 ， 若 ，则 ，必有 ，从而 ，矛盾！ 若 ，则 ，而由题意 ，所以，必有 ，从而，有 ，即 ，矛盾。 若 ，则必有 ，从而 ， ，即 ，再由 ，必有“ ”或者“ ”；前者导致 ，后者导致 ，两者都不成立。故 ，且 ，从而 不是 的因子， 所以 。 4 4 3 c c+ b = 3 6 5 5 c c + c £ 5 (abc , , 2,3,5 )= ( ) (abc , , ) ( ) ( ) ( )( ) * 1,1, 1, ,1 ,1,1 c c c t N 、 、 Î (2,3,5 2,5,3 3,2,5 3,5,2 5,2,3 5,3,2 )、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 1! 2! ! n n n f n n N n = + + + ? L f (1 1 )= n ³ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 1 ! 1 1 * 1 ! n n n n n f n n N n 鬃 ? ? + - ? + = + ? - L L n n n - + ? 1 1 1 2 n = 2,3 ( ) 2 2 2 3 2! f = + = ( ) 3 3 3 3 5 2! 3! f = + + = n = 1,2,3 1 S = 1 2 S = 2 ( ) 1 1 1 3 5 2 1 4 k k k k k S S S + + = + + + + - + = + L n ³ 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 4 1 4 4 2 4 2 2 1 4 3 n n n n k n k k k k S S S S - - - + = = - + = - + = + = + = 邋 - n 4 2 3 n n s + = su tv n - ? 0,1, (n su tv , 1 - >) su tv - ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n s t u v su tv sv tu su tv sv tu = + + = - + + = + + - \ n su tv su tv ? = + n su tv su tv ? = - ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 su tv su tv s u t v s t u u v t u t n n + - = - = + - + = - ? 0 mod \ su tv n - = sv tu + = 0 v t = = 0 s n u = = su tv - = 0 su tv = su tv ³ s t u v = = , 2 2 2 2 s n u = = s u = su tv - = 1 n su tv + su tv n + = sv tu - = 0 sv tu = s u > t v > t v = = 0 2 2 2 2 n s t u v n = + > + = s n u = = su tv - ? 1 su tv n + < n su tv + (su tv n - > , 1 )

综上所述，1<(su-tv,n)<n，故(su-tv,n)是n的真因子。13.分析：结论与互异素数的个数有关，可以应用数学归纳法证明，解：当n=1时，素数p>3，有p25，但p不是3的倍数，可得32+1，所以2#+1至少有4个不同的正因子：132±1,2n+1。对于正整数n32，假设命题对n-1成立。现任取互异素数pVPzL、P.>3，有归纳假设，2ppLP1+1至少有4*1个不同的正因子。很明显，2PpL P1+12PpLP+1、2+12PLP+1、3|2pLP1+1以及3|2P+1。ppl P1+ 1,2m+1+1。下面证明：秒3由于(2mpL Pp1- 1,22pm- 1)= 2(2ppL Pr2p)_ 1= 2- 1=3, 而2pL P1+ 12mpL Pe1. 1以及+, 以(+1。 从而3故(2L1+1)2+2m1，2ml+1至少有24个不同的正因子。3记a=(2mlp1+1)?2"+，如果能证明2mmlP+1>a，则有2plp+1至少有2创4″1=4"个不同的正因子。QPP,L pu- 2pP,L Pai- 2p,=(pp,L Px1-2)(p-2)-4炒3 5>0,(2nt Px1 + 1)° ,(2°- + 1)2PL P +1> 22ppL Pe1222Pa?33故命题对正整数n也成立。由数学归纳法，命题得证。14.解：按题意，有5创78?9n，从而n=2㎡攀+5+″禁+119L；按题意，有(4+ a)(3+ a,)(2+ a,)2+ a)(1+ a.)L = 144 ,Q(4+ a,)(3+ a,)2+ a,)(2+a)? 48,1(1+ α)(1+ a3)L ? 3。为使n尽可能小，应使，尽可能大。当a9时，（4+a)3+a)2+as)2+a)L？156144，无解。5

5 综上所述， ，故 是 的真因子。 13.分析：结论与互异素数的个数有关，可以应用数学归纳法证明。 解：当 时，素数 ，有 ，但 不是 3 的倍数，可得 ，所 以 至少有 4 个不同的正因子： 。 对于正整数 ，假设命题对 成立。 现任取互异素数 ，有归纳假设， 至少有 个不同 的正因子。很明显， 、 、 以及 。 下面证明： 。 由于 ，而 以 及 ，所以 ，从而 。 故 ， 至少有 个不同的正因子。 记 ，如果能证明 ，则有 至少有 个不同的正因子。 ， 。 故 命题对正整数 也成立。 由数学归纳法，命题得证。 14.解：按题意，有 ，从而 ；按题意， 有 ， ， 。 为使 尽可能小，应使 尽可能大。 当 时， ，无解。 1 , < - < (su tv n n ) (su tv n - , ) n n = 1 1 p > 3 1 p ³ 5 1 p 1 3 2 1 p + 1 2 1 p + 1 2 1 1 1,3, , 2 1 3 p + p + n ³ 2 n - 1 1 2 3 n p p p 、 、 、L > 1 2 1 2 1 n p p p - + L 1 4 n- 1 2 1 1 2 2 1 2 1 n n p p p p p p - + + L L 1 2 2 1 2 1 n n p p p p + + L 1 2 1 3 2 1 n p p p - + L 3 2 1 n p + 1 2 1 2 1 2 1, 1 3 n n p p p p 骣ç - + = + ÷ ç ÷ ç桫 ÷ L ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 2 2 ,2 2 2 1,2 1 2 1 2 1 3 n n n n p p p p p p p p - - - - = - = - = L L 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 n n p p p p p p - - + - L L 2 2 1 2 1 n n p p + - ( ) 1 2 1 2 1,2 1 3 n n p p p p - + + = L 1 2 1 2 1 2 1, 1 3 n n p p p p 骣ç - + = + ÷ ç ÷ ç桫 ÷ L ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 n n n p p p p p p p - + + ? L L 1 2 2 1 n p p p + L 1 2 4n- ´ ( ) 1 2 1 2 1 2 1 3 n n p p p p a - + = + ? L 1 2 2 2 1 p p pn + > a L 1 2 2 1 n p p p + L 1 2 2 4 4 创 n n - = Q ( )( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 4 3 5 0 n n n n n p p p p p p p p p p p - - L L L - - = - - - 炒 > \ ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 3 n n n n n p p p p p p p p p p p a - - + + + > ? ? L L Ln 5 7 8 9 创 ? n 3 2 11 2 1 1 3 5 7 2 3 5 7 11 a a a a a n + + + + = 鬃 鬃 L ( )( )( )( )( ) 2 3 5 7 11 4 3 2 2 1 144 + + + + + = a a a a a L Q ( )( )( )( ) 2 3 5 7 4 3 2 2 48 + + + + ? a a a a \ ( )( ) 11 13 1 1 3 + + ? a a L n 2 2 a ³ 9 ( )( )( )( ) 2 3 5 7 4 3 2 2 156 144 + + + + ? a a a a L