2.3行列式按一行（列）展开证明：先证a=amm的情形，即anal1,n-1ain-D=an-1,1:... an-1,n-1an-1,n00ann..由行列式的定义，有D= Z (-1)(-a,2i- a-1,j-.m.ii...j.- 2 (-1(- a,/ -/...m*jjnnZ (- - .=amjir.-jn-
证明：先证 a a ij nn = 的情形，即 11 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 0 0 n n n n n n n nn a a a D a a a a − − − − − = 由行列式的定义，有 1 1 2 1 1 2 ( ) 1 2 1, ( 1) n n n n j j j j n j nj j j j D a a a a − − = − 1 1 1 2 1 1 1 ( ) 1 2 1, ( 1) n n n j j n j j n j nn j j n a a a a − − − = − − 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1, ( 1) n n n j j nn j n j j j a a a − − − = − − 2.3 行列式按一行（列）展开
2.3行列式按一行（列）展开anar(1,n-1=amM.m=ammA.. 结论成立。=a..nna1n-1,11一般情形：a1al,j-1anarj...ar,j+1..........ai1, ai-1,j- aj-1, i-1,j+11a;-1,n0:00...0aijai+1,1"ai+1,n.. ali+1,j-1Ai+1,j+1ai+1,j........·.ananan,j-1anj.an,j+1
11 1, 1 1,1 1, 1 n nn n n n a a a a a − − − − = . nn nn = a Mnn nn = a A 结论成立。 一般情形： 11 1, 1 1 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 , 1 , 1 0 0 0 0 j j j n i i j i j i j i n ij i i j i j i j i n n n j nj n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − − + − + + − + + + + − + 2.3 行列式按一行（列）展开
2.3行列式按一行（列）展开aanja1,j-1l1,j+1ain.............ai .. (a;-1,j-1aj-1,j+1 ... ai-1,nai-1,jai+1,j++ **. ai+1,nai+1, **. ai+1,j-1ai+1j.........ananjannan,j+1an,j-1...**0000aj...aa1,j+1ainayja1,j-1..ai-1, *.. a,j-,j-1a;-1,j;-1,j+11ai-1.n=(-1)ai+1,1ai+1,j...Ai+1,j-1a;+1,j+1ai+l,n1...........aanjan,j-1an,j+1ann0000aij= (-1)2n-(i+i)a.,M+ia,M,=a,(-1)i+i M, =ajAj。 结论成立。=
11 1, 1 1, 1 1 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1 , 1 , 1 ( 1) ( 1) 0 0 0 0 j j n j i i j i j i n i j n i n j i i j i j i n i j n n j n j nn nj ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − + − − − − + + − + + + + − + = − −( 1)i j ij ij a M + = − 2 ( ) ( 1) n i j ij ij a M − + = − ( 1) . i j ij ij ij ij a M a A + = − = 结论成立。 11 1, 1 1 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 , 1 , 1 ( 1) 0 0 0 0 j j j n i i j i j i j i n n i i i j i j i j i n n n j nj n j nn ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − − + − − + + − + + + + − + = − 2.3 行列式按一行（列）展开