《抽象代数》课程教学大纲(Modern Algebra)一、课程概况课程名称：抽象代数课程代码：07200030课程性质：专业必修课【核心课】课程学分：4学分预修课程：高等代数开课学期：第3学期课程学时：60学时（理论总学时/实践总学时：45/15）课程周学时：4学时（理论学时/实践学时：3/1）考核方式：闭卷笔试、平时考核相结合课程负责人：门博二、课程自标课程目标1：理解《抽象代数》中的基本概念，基础理论知识。系统的掌握群、环、域的基本概念、基本理论和方法，能够运用相关基本理论判断群和环的性质和构造，判断不同的群或环之间的关系，掌握子群、正规子群，子环，理想等子体系与原代数系统之间的关系。课程目标2：深入理解中学代数的内容和方法，能用更高的代数观点理解中学数学的内容，指导中学数学教学。课程目标3：了解《抽象代数》的发展历史。掌握严谨的代数推理方法，熟悉代数中处理问题的方法，能理解具体和抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。课程目标4：通过探究群、环等概念的内部联系及两个代数系统间的联系，培养学生自主学习能力、自我反思能力和批判性思维。课程目标5：通过合作探究特殊群的应用，使学生具有团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神，与同伴、教师能够进行有效的沟通交流。三、课程自标与毕业要求的关系1.课程目标与毕业要求的对应关系
《抽象代数》课程教学大纲 （Modern Algebra） 一、课程概况 课程名称：抽象代数 课程代码：07200030 课程性质：专业必修课 【核心课】 课程学分：4 学分 预修课程：高等代数 开课学期：第 3 学期 课程学时：60 学时（理论总学时/实践总学时：45/15） 课程周学时：4 学时（理论学时/实践学时：3/1） 考核方式：闭卷笔试、平时考核相结合 课程负责人：门博 二、课程目标 课程目标 1： 理解《抽象代数》中的基本概念，基础理论知识。系统的掌握群、环、 域的基本概念、基本理论和方法，能够运用相关基本理论判断群和环的性质和构造，判 断不同的群或环之间的关系，掌握子群、正规子群，子环，理想等子体系与原代数系统 之间的关系。 课程目标 2：深入理解中学代数的内容和方法，能用更高的代数观点理解中学数学 的内容，指导中学数学教学。 课程目标 3：了解《抽象代数》的发展历史。掌握严谨的代数推理方法，熟悉代数 中处理问题的方法，能理解具体和抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。 课程目标 4：通过探究群、环等概念的内部联系及两个代数系统间的联系，培养学 生自主学习能力、自我反思能力和批判性思维。 课程目标 5：通过合作探究特殊群的应用，使学生具有团队协作活动的体验，具备 良好的团队协作精神，与同伴、教师能够进行有效的沟通交流。 三、课程目标与毕业要求的关系 1.课程目标与毕业要求的对应关系
毕业要求课程目标毕业要求分解指标点3-1系统掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等课程目标1数学学科专业能力；3-2熟悉中学数学学科的教学内容和方法，理解中学数学与学科素养课程目标2高等数学的关联；3-3掌握数学学科的基本思想和方法，了解数学的历史概况课程目标3和发展的基本规律；7-2初步掌握反思的方法与技能和教育科学研究的常用方法，能够应用英语阅读相关材料，跟踪国内外数学教育发学会反思课程目标4展趋势。能够对数学基础教育实践问题进行全方位的思考与研究，基于质疑、求证、判断发展批判性思维；8-1理解专业学习共同体的特点和价值，了解学习共同体在教学过程中的重要作用：掌握团队协作的相关知识与技能沟通合作课程目标5具有团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神。2.课程目标与毕业要求的矩阵关系图学会反思学科素养沟通合作课程目标3-13-23-37-28-1H课程目标1L课程目标2L课程目标3M课程目标4M课程目标5（注：H代表课程分目标与毕业要求分指标点为高支撑，M代表中支撑，L代表低支撑。）四、课程教学内容与课程目标的对应关系章次内容支撑课程目标第二章同态与同构课程目标1、3群第三章课程目标1、2、4、5环第四章课程目标1、2、4域第五章课程目标1、2
毕业要求 毕业要求分解指标点 课程目标 学科素养 3-1 系统掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能， 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等 数学学科专业能力； 课程目标 1 3-2 熟悉中学数学学科的教学内容和方法，理解中学数学与 高等数学的关联； 课程目标 2 3-3 掌握数学学科的基本思想和方法，了解数学的历史概况 和发展的基本规律； 课程目标 3 学会反思 7-2 初步掌握反思的方法与技能和教育科学研究的常用方 法，能够应用英语阅读相关材料，跟踪国内外数学教育发 展趋势。能够对数学基础教育实践问题进行全方位的思考 与研究，基于质疑、求证、判断发展批判性思维； 课程目标 4 沟通合作 8-1 理解专业学习共同体的特点和价值，了解学习共同体在 教学过程中的重要作用；掌握团队协作的相关知识与技能， 具有团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神。 课程目标 5 2.课程目标与毕业要求的矩阵关系图 课程目标 学科素养 学会反思 沟通合作 3-1 3-2 3-3 7-2 8-1 课程目标 1 H 课程目标 2 L 课程目标 3 L 课程目标 4 M 课程目标 5 M （注：H 代表课程分目标与毕业要求分指标点为高支撑，M 代表中支撑，L 代表低支撑。） 四、课程教学内容与课程目标的对应关系 章次 内容 支撑课程目标 第二章 同态与同构 课程目标 1、3 第三章 群 课程目标 1、2、4、5 第四章 环 课程目标 1、2、4 第五章 域 课程目标 1、2
五、教学方式（一）课堂讲授通过等价关系及性质的学习，掌握代数学中的重要的分类处理的方法；通过群论的学习，掌握代数中的运算律的作用：掌握研究群的基本方法和群的构造方法：了解变换群与置换群的基本性质及作用；熟练掌握同态基本定理并能用其解决相关问题；通过环与域的学习，掌握环、整环和域的概念与基本性质：熟练掌握理想的判别及由理想构造商环的方法；掌握素理想与极大理想概念及判别。（二）课堂讨论对本课程中的重要内容，布置课外学习任务，通过查阅文献，了解相应的知识和处理问题的方法，并在课堂中交流讨论，一般进行2次左右。（三）课后作业布置课后习题作业，以巩固课堂学习内容，全部批改并对反馈的问题进行讲评或让学生对作业进行思路讲解、讨论。布置课后自主学习作业，对已学习的内容梳理总结、反思，理解抽象代数与中学数学的内涵联系。六、教学内容及学时分配（一）教学内容与学时分配各章教学内容与学时分配表章次内容总课时理论课时实践课时二862同态与同构三8群3224四环16124域431五（二）教学内容纲要第二章同态与同构（8学时）1.教学目的与要求理解映射、原象与象的定义；映射、满射、单射、一一映射及逆映射的定义。代数运算的概念，理解同态、同构、自同构的概念：理解集合的分类、模n的剩余类、等价的概念，会用等价关系将集合进行分类；理解同态、同构、等价关系的概念及用等价关
五、教学方式 （一）课堂讲授 通过等价关系及性质的学习，掌握代数学中的重要的分类处理的方法;通过群论的学 习，掌握代数中的运算律的作用；掌握研究群的基本方法和群的构造方法；了解变换群 与置换群的基本性质及作用；熟练掌握同态基本定理并能用其解决相关问题；通过环与 域的学习，掌握环、整环和域的概念与基本性质；熟练掌握理想的判别及由理想构造商 环的方法；掌握素理想与极大理想概念及判别。 （二）课堂讨论 对本课程中的重要内容，布置课外学习任务，通过查阅文献，了解相应的知识和处 理问题的方法，并在课堂中交流讨论，一般进行 2 次左右。 （三）课后作业 布置课后习题作业，以巩固课堂学习内容，全部批改并对反馈的问题进行讲评或让 学生对作业进行思路讲解、讨论。布置课后自主学习作业，对已学习的内容梳理总结、 反思，理解抽象代数与中学数学的内涵联系。 六、教学内容及学时分配 （一）教学内容与学时分配 各章教学内容与学时分配表 章次 内容 总课时 理论课时 实践课时 二 同态与同构 8 6 2 三 群 32 24 8 四 环 16 12 4 五 域 4 3 1 （二）教学内容纲要 第二章 同态与同构（8 学时） 1.教学目的与要求 理解映射、原象与象的定义；映射、满射、单射、一一映射及逆映射的定义。代数 运算的概念，理解同态、同构、自同构的概念；理解集合的分类、模 n 的剩余类、等价 的概念，会用等价关系将集合进行分类；理解同态、同构、等价关系的概念及用等价关
系将集合进行分类。2.主要教学内容(6学时）（1）第一节集合与关系（2学时）教学重点：集合间的关系和运算；关系的定义；卡氏积的计算；等价关系、等价类的概念，等价关系的判定与证明，确定等价类的方法。教学难点：卡氏积的计算；二元关系的判定。对等级关系、等价类概念的理解；确定等价类的方法。（2）第二节映射（1学时）教学重点：映射、单射、满射的判定；对变换概念的理解。教学难点：映射、单射、满射、一一映射、变换的判定与证明。（3）第三节代数运算与运算律（1学时）教学重点：代数运算的概念与判定、运算律的定义。教学难点：对代数运算、运算律概念的理解与判定。（4）第四节同态（1学时）教学重点：同态的定义、性质与判定教学难点：对同态概念的理解。（5）第五节同构与自同构（1学时）教学重点：同构、自同构的概念。教学难点：对同构、自同构概念的理解。3.主要实践内容（2学时）第一节书后习题第三章群论（32学时）1.教学目的与要求熟练掌握群的定义及相关的概念，包括单位元、逆元、消去律、有限群、无限群及交换群；掌握群同态的概念及性质；掌握变换群的概念、性质及凯莱（Cayley）定理；掌握置换群的概念及性质；熟练掌握循环群的概念、结构；熟练掌握子群的概念及判别条件，子群陪集及相关概念，会求子群的陪集；熟练掌握不变子群、商群的概念及不变子群的判别；熟练掌握群的同态基本定理
系将集合进行分类。 2.主要教学内容(6 学时) （1）第一节 集合与关系（2 学时） 教学重点：集合间的关系和运算；关系的定义；卡氏积的计算；等价关系、等价类 的概念，等价关系的判定与证明，确定等价类的方法。 教学难点：卡氏积的计算；二元关系的判定。对等级关系、等价类概念的理解；确 定等价类的方法。 （2）第二节 映射（1 学时） 教学重点：映射、单射、满射的判定；对变换概念的理解。 教学难点：映射、单射、满射、一一映射、变换的判定与证明。 （3）第三节 代数运算与运算律（1 学时） 教学重点：代数运算的概念与判定、运算律的定义。 教学难点：对代数运算、运算律概念的理解与判定。 （4）第四节 同态（1 学时） 教学重点：同态的定义、性质与判定。 教学难点：对同态概念的理解。 （5）第五节 同构与自同构（1 学时） 教学重点：同构、自同构的概念。 教学难点：对同构、自同构概念的理解。 3.主要实践内容（2 学时） 第一节 书后习题 第三章 群论（32 学时） 1.教学目的与要求 熟练掌握群的定义及相关的概念，包括单位元、逆元、消去律、有限群、无限群及 交换群；掌握群同态的概念及性质；掌握变换群的概念、性质及凯莱（Cayley）定理； 掌握置换群的概念及性质；熟练掌握循环群的概念、结构；熟练掌握子群的概念及判别 条件，子群陪集及相关概念，会求子群的陪集；熟练掌握不变子群、商群的概念及不变 子群的判别；熟练掌握群的同态基本定理
2.主要教学内容(24 学时)（1）第一节群的基本概念及性质（3学时）教学重点：半群、群的定义与判定；左、右单位元与左、右逆元的的概念与性质：单位元、逆元的定义与判定；消去律的内容与判定；几种常见的群。教学难点：对群的定义的理解，群的判定。（2）第二节变换群（2学时）教学重点：变换群的定义。教学难点：对变换群定义的理解。（3）第三节群的同构（5学时）教学重点：群同态映射、群同构映射、群同态、自同构群、内自同构群的定义、性质、判定。教学难点：对群同态映射、群同构定义的理解；群同态映射、群同构的判定。（4）第四节循环群（4学时）教学重点：循环群的概念、判定，循环群的生成元的概念，循环群的同构定理。教学难点：对循环群概念的理解。（5）第五节子群与子群的陪集（4学时）教学重点：子群的定义与判定，子群陪集的定义、子群的共轭类的定义、群的直和分解；循环群的子群的性质和生成方法。教学难点：子群的判定，对子群陪集的概念的理解；群的内外直和的概念和两者关系的理解和证明；子群的生成方法。（6）第六节Lagrange定理（2学时）教学重点：Lagrange定理的证明。教学难点：Lagrange定理的应用。（7）第七节置换群（2学时）教学重点：置换群的定义；置换的表示方法、置换的运算、共轭变换的运算。教学难点：对置换群、置换定义的理解，置换的运算，对称群的子群的生成方法。（8）第八节商群（2学时）教学重点：正规子群的定义和性质、商群的定义和计算；群同态基本定理，Caley
2.主要教学内容(24 学时) （1）第一节 群的基本概念及性质（3 学时） 教学重点：半群、群的定义与判定；左、右单位元与左、右逆元的的概念与性质； 单位元、逆元的定义与判定；消去律的内容与判定；几种常见的群。 教学难点：对群的定义的理解，群的判定。 （2）第二节 变换群（2 学时） 教学重点：变换群的定义。 教学难点：对变换群定义的理解。 （3）第三节 群的同构（5 学时） 教学重点：群同态映射、群同构映射、群同态、自同构群、内自同构群的定义、性 质、判定。 教学难点：对群同态映射、群同构定义的理解；群同态映射、群同构的判定。 （4）第四节 循环群 （4 学时） 教学重点：循环群的概念、判定，循环群的生成元的概念，循环群的同构定理。 教学难点：对循环群概念的理解。 （5）第五节 子群与子群的陪集（4 学时） 教学重点：子群的定义与判定，子群陪集的定义、子群的共轭类的定义、群的直和 分解；循环群的子群的性质和生成方法。 教学难点：子群的判定，对子群陪集的概念的理解；群的内外直和的概念和两者关 系的理解和证明；子群的生成方法。 （6）第六节 Lagrange 定理（2 学时） 教学重点：Lagrange 定理的证明。 教学难点：Lagrange 定理的应用。 （7）第七节 置换群（2 学时） 教学重点：置换群的定义；置换的表示方法、 置换的运算、共轭变换的运算。 教学难点：对置换群、置换定义的理解，置换的运算，对称群的子群的生成方法。 （8）第八节 商群（2 学时） 教学重点：正规子群的定义和性质、商群的定义和计算；群同态基本定理，Caley