沈阳师范大学博学厚德尚美健行SHENYANGNORMALUNIVERSITY课程教案课程名称：抽象代数课程代码：07200141学时学分：60学时/4学分课程类别：专业必修课授课年级：2022级数学与应用数学（师范）专业授课教师：门博教学单位：数学与系统科学学院2023年8月
课 程 教 案 课程名称: 抽象代数 课程代码: 07200141 学时学分: 60 学时/4 学分 课程类别: 专业必修课 授课年级: 2022 级数学与应用数学（师范）专业 授课教师: 门博 教学单位: 数学与系统科学学院 2023 年 8 月
《抽象代数》教案第2章同态与同构授课题目课时2学时2.1集合与关系教学内容集合的概念与运算：关系的概念【知识目标】1.能够叙述集合元素、子集、真子集及集合的交、并、补、差、积等概念：2.会用文氏图表示集合的差、对称差：3.会求集合的差、对称差和积；4.能够叙述等价关系、集合的分类的定义，理解模n的剩余类的本质；5.能描述等价关系、集合的分类的性质、及二者关系教学目标【能力目标】1.能够对比分析集合差和对称差的区别；2.会利用集合的差、对称差和积分析解决问题；3.会利用等价关系分析解决问题【素质目标】1.理解实践检验与逻辑证明的关系，2.运用从特殊到一般的数学思想方法分析问题【教学重点】1.集合运算：差、对称差、积；2.等价关系、模n的剩余类重点与难点【教学难点】1.分类与关系的概念；2.模n的剩余类【教学方法】讲授法、启发式教学法、课前预习法、讨论法方法与手段【教学手段】多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段【学习内容】1.集合的概念；2.集合的交、并、补课前自主学习【学习检测】课前在雨课堂发布，具体内容见本节附件1.1-1教学活动设计课堂教学过程师生互动2.1-0抽象代数的发展历史（约15分钟）【师】介绍抽象代数的历史发展，播2.1-1集合导入（约5分钟）放视频。集合这个概念，我们从高中就学习过，在许多本科课程中也【生】学生将所了解的与抽象代数新课在学习，这一章开始我们将更深入的研究带有运算的集合，本节起源相关内容发导入我们先回顾集合的基本概念及集合间的运算，同时学习集合的布在弹幕上，讲历史故事差、对称差及卡氏积的运算【设计意图】激发学生的学习兴趣和探索精神-1-数学与系统科学学院
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 1 - 授课题目 2.1 集合与关系 课时 2 学时 教学内容 集合的概念与运算；关系的概念 教学目标 【知识目标】 1. 能够叙述集合元素、子集、真子集及集合的交、并、补、差、积等概念； 2. 会用文氏图表示集合的差、对称差； 3. 会求集合的差、对称差和积； 4. 能够叙述等价关系、集合的分类的定义，理解模 n 的剩余类的本质； 5. 能描述等价关系、集合的分类的性质、及二者关系. 【能力目标】 1. 能够对比分析集合差和对称差的区别； 2. 会利用集合的差、对称差和积分析解决问题； 3. 会利用等价关系分析解决问题. 【素质目标】 1. 理解实践检验与逻辑证明的关系. 2. 运用从特殊到一般的数学思想方法分析问题. 重点与难点 【教学重点】 1. 集合运算：差、对称差、积； 2. 等价关系、模 n 的剩余类. 【教学难点】 1. 分类与关系的概念； 2. 模 n 的剩余类. 方法与手段 【教学方法】 讲授法、启发式教学法、课前预习法、讨论法. 【教学手段】 多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段. 课前自主学习 【学习内容】 1. 集合的概念； 2. 集合的交、并、补. 【学习检测】 课前在雨课堂发布，具体内容见本节附件 1.1-1. 课堂教学过程 教学活动设计 新课 导入 2.1-0 抽象代数的发展历史（约 15 分钟） 2.1-1 集合导入（约 5 分钟） 集合这个概念，我们从高中就学习过，在许多本科课程中也 在学习，这一章开始我们将更深入的研究带有运算的集合，本节 我们先回顾集合的基本概念及集合间的运算，同时学习集合的 差、对称差及卡氏积的运算. 师生互动 【师】介绍抽象代 数的历史发展，播 放视频. 【生】学生将所了 解的与抽象代数 起源相关内容发 布在弹幕上,讲历 史故事. 【设计意图】激发 学生的学习兴趣 和探索精神
《抽象代数》教案第2章同态与同构2.1-2关系导入（约5分钟）A=（数学院2022级数学与应用数学全体学生【设计意图】实例引入，例子贴近学D=(对，错)，β:AxA→D生实际，使学生更感兴趣，有利于理解难点概念d(a,b)-[对 ab 同班，其中a,be4.[错a,b不同班这里的の是一个映射，它是一个特殊的映射，称作关系2.1-1集合1.集合的概念（约10分钟）定义若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集），集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）定义一个没有元素的集合叫做空集，记为の，且の是任一集合的子集（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A,B,C，··表示集合，习惯上用小写拉丁字母a.b.c...表示集合中的元素新课讲解若α是集合A中的元素，则记为αEA,否则记为αA表示集合通常有三种方法：雨课堂-课堂习题1）枚举法（列举法)：【师】线上发布测例 A=1,2,3,4), B=(1,2,3,..,100)试.【生】在线作答。2)描述法：A=(p(x)，p(x)一元素x具有的性质【设计意图】检测学生对集合知识例A=(aaz且1≤α≤4)显然，例6中的A就是例5掌握情况.的A.3）绘图法：用文氏图（VennDiagram）可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系（3）集合的蕴含（包含）定义设BcA，且存在aEA但aB，那么称B是A的-2 -数学与系统科学学院
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 2 - 2.1-2 关系导入（约 5 分钟） A {数学院 2022 级数学与应用数学全体学生} D {对，错}， : A A D 错 不同班 对 同班 a b a b a b , , ( , ) ，其中 a,b A. 这里的 是一个映射，它是一个特殊的映射，称作关系. 【设计意图】实例 引入，例子贴近学 生实际，使学生更 感兴趣，有利于理 解难点概念. 新课 讲解 2.1-1 集合 1. 集合的概念（约 10 分钟） 定义 若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个 集合（简称集）. 集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称 元）.定义 一个没有元素的集合叫做空集，记为，且 是任一 集合的子集. （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性. （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母 A,B,C,表示集合， 习惯上用小写拉丁字母 a,b,c,表示集合中的元素. 若 a 是集合 A 中的元素，则记为 a A,否则记为 a A. 表示集合通常有三种方法： 1）枚举法（列举法）： 例 A 1, 2,3,4 ， B 1,2,3,,100 . 2）描述法： A x p(x)， p(x) —元素 x 具有的性质. 例 A a a Z且1 a 4. 显然，例 6 中的 A 就是例 5 的 A .3）绘图法：用文氏图（Venn Diagram）可形象地表现出集合 的特征及集合之间的关系. （3）集合的蕴含（包含） 定义 设 B A ，且存在 a A 但a B ，那么称 B 是 A 的 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对集合知识 掌握情况
《抽象代数》教案第2章同态与同构真子集，否则称B不是A的真子集定义若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B结论 A=BACB且BCA2.集合的运算（约15分钟）①集合的并：AUB=xEA或xeB)：②集合的交：ANB=(xEA且xeB)集合的差：A-B=(xeA且xB)集合在全集内的补：A=(xeE且xA)③集合的布尔和（对称差）：EAOB=(xxeA或xeB但xANB)=(A- B)U(B- A)=(AUB)-(ANB)③集合的卡氏积：A×B=(a,b)aEA且beB)注：A×B中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点.卡氏积的推广：令A，A，A4.是m个集合，那么由它们做成的卡氏积为：4=44A.{(,,.a,., =1,.. =对上述集合运算，可以得到一批基本公式：(1)AUB=BUAANB=BNA:(2)AU(BUC)=(AUB)UC,AN(BNC)=(ANB)NC;数学与系统科学学院*3
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 3 - 真子集，否则称 B 不是 A 的真子集. 定义 若集合 A 和 B 含有完全一样的元素，那么称 A 与 B 相等，记为 A B . 结论 A B A B 且 B A . ２. 集合的运算（约 15 分钟） ①集合的并： A B x x A或x B； ②集合的交： A B x x A且x B； ③集合的差： A B x x A且x B； ④集合在全集内的补： A x x E且x A； ⑤集合的布尔和（对称差）： ( ) ( ) ( ) ( ) A B x x A x B x A B A B B A A B A B 或 但 ⑥集合的卡氏积： A B (a,b) a A且b B. 注： A B 中的元素可看成由 A和 B 坐标轴所张成的平面上 的点.卡氏积的推广：令 1 2 , , , A A Am 是 m 个集合，那么由它们做 成的卡氏积为： 1 2 1 2 1 ( , , , ) , 1, 2, , m i m m i i i A A A A a a a a A i m . 对上述集合运算，可以得到一批基本公式： （1） A B B A; A B B A； （2）A(BC) (A B) C，A(BC) (A B) C；
《抽象代数》教案第2章同态与同构(3) AU(BNC)=(AUB)N(AUC),AN(BUC)=(ANB)U(ANC);(4)AUO=A,ANE=A,AUA=E,ANA=O:(5)AUE=E,ANO=O,AUA=A,ANA=A;（6）吸收律：AU(ANB)=A，AN(AUB)=A3.例题（约5分钟）例 1A=(1,2,3) ，B=(2,5,6) ，那么 AnB=(2) ;A=(1,2,3)，B=(4,5,6)，那么ANB=0例2 A=(1,2,3),B=(2,4,6),那么 AUB=(1,2,3,4,6);A=(1,2,3)，B=(4,5,6)，那么AUB=(1,2,3,4,5,6)4.巩固练习（约5分钟）习题册P1-1，2A=(O,(O)), B=O, 则A-B=?2.1-2关系1.等价关系（约10分钟）定义设A为集合，D=（对，错），那么一个A×A到D的映射R就叫做A的一个关系（也称为二元关系）若R：（a,b）→对，就称a与b符合关系R，记为aRb；若R：(a,b)→错，就称a与b不符合关系R，记为aRb由上述定义知，A中任一对元a,b，都可以判定α与b是否符合这个关系，雨课堂-弹基例1A=(所有实数)，课堂习题【师】请同学们在R:(a,b)→对，若b-a是正的弹幕中发布答案(a,b)→错，若b-a不是正的找同学解释答案【生】弹幕作答是A的元间的一个关系【设计意图】检测学生对关系概念定义设是集合A的元间的一个关系～叫做一个等价关系，的掌握情况，如果～满足以下规律：(1）反射律（反身性)：Va,eAa~a；(2）对称律（对称性）：Va,beA，当a~b时必有b~a：数学与系统科学学院- 4 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 4 - （3） A (B C) (A B) (AC) ， A (B C) (A B) (AC) ； （4） A A， A E A ， A A E ， A A ； （5） A E E ， A ， A A A ， A A A ； （6）吸收律： A (A B) A ， A (A B) A . 3. 例题（约 5 分钟） 例 1 A 1, 2,3 ， B 2,5,6 ， 那 么 A B 2 ； A 1, 2,3 ， B 4,5,6 ，那么 A B . 例 2 A 1, 2,3 ， B 2,4,6 ，那么 A B 1,2,3,4,6； A 1, 2,3 ， B 4,5,6 ，那么 A B 1, 2,3, 4,5,6 . 4. 巩固练习（约 5 分钟） 习题册 P1-1，2 A , ， B ，则 A B ? 2.1-2 关系 1. 等价关系（约 10 分钟） 定义 设 A 为集合，D {对，错}，那么一个 A A到 D 的 映射 R 就叫做 A 的一个关系.（也称为二元关系） 若 R :(a,b) 对，就称 a 与b 符合关系 R ，记为 aRb ； 若 R :(a,b) 错，就称 a 与b 不符合关系 R ，记为 aRb . 由上述定义知， A 中任一对元 a,b ，都可以判定 a 与b 是否 符合这个关系. 例 1 A {所有实数}， R :(a,b) 对，若b a 是正的 (a,b) 错，若b a 不是正的 是 A 的元间的一个关系. 定义 设是集合 A 的元间的一个关系 叫做一个等价关系， 如果 满足以下规律： （1）反射律（反身性）：a, A,a a ； （2）对称律（对称性）：a,b A ，当 a b 时必有b a ； 雨课堂-弹幕 课堂习题 【师】请同学们在 弹幕中发布答案. 找同学解释答案. 【生】弹幕作答. 【设计意图】检测 学生对关系概念 的掌握情况