例3证明反常积分、当P>1时收敛, 当p≤1时发散 证(1)p=1,Ja= +0 nx =+oo <1 (2)P≠1,d= p>1 p-1 因此当p>1时反常积分收敛,其值为“,;当 P P≤1时反常积分发散
例 3 证明反常积分 + a p dx x 1 当 p 1时收敛， 当 p 1时发散. 证 (1) p = 1, + a p dx x 1 = + a dx x 1 + = x a ln = +, (2) p 1, + a p dx x 1 + − − = a p p x 1 1 − + = − , 1 1 , 1 1 p p a p p 因此当 p 1时反常积分收敛，其值为 1 1 − − p a p ；当 p 1时反常积分发散
例4.确定下列无穷积分是否收敛。若收敛犷出它的值 +0-X (2j dx 3 +∞ dx 解:(1);∫edx==1-eb lim )=1-li 故∫c^收敛,且∫eax=1 m b→+∞33b b 故∫收敛,耳=
例4.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值. dx x dx x e dx x + − + + 1 (3) 1 (1) (2) 0 1 4 1 解： b x x b b e dx e e − − − = − = − (1) 1 1 1 1 1 lim (1− ) =1− lim = → − →+ b b b b e e 0 0 =1 + − + − e dx e dx 故 x 收敛，且 x 3 1 4 3 1 3 1 3 1 3 1 1 (2) − = − = − b x dx x b b 3 1 b 1 lim 3 1 3 1 ) 3b 1 3 1 lim ( 3 b 3 b − = − = →+ − →+ 3 1 1 1 1 4 1 4 = + + dx x dx x 故 收敛，且
+∞ dx=imn「b-dx b→+J 文∫ d x=2 2b-2 lin Im 2√b-2)=+∞ b→+c 故「12发散 练习1:下列无穷积分是否收敛?若收敛,算出它仉的值 X dx (2 o dre r ∞ dx
dx x dx x b b 1 lim 1 (3) 1 1 →+ + = 2 2 2 1 1 = 1 = − dx x b x 又 b b − = + →+ lim (2 b 2) b 故 dx发散 x + 1 1 练习1：下列无穷积分是否收敛？若收敛，算出它们的值. dx x x e + ln （1） 1 x e dx x + − （2） 0
例5:计犷元穷积分 dx 1+x 2 o e +e dx 解(1):「 + x +∞ 21+x 1+x +o1 dx m a=)-00Ja1tx +m「 2 1+x lim arctan a lim arctan o a→-00 lim arctan a +lim arctan b= T
例5：计算无穷积分 dx 1 x 1 (1) 2 + + − xe dx x + − 2 0 (2) 解(1): 2 0 2 0 2 1 1 1 1 x dx x dx dx x + + + = + + − + − + + + = →− →+ 2 b 0 a 2 0 a a 1 x dx lim 1 x dx lim b 0 b 0 a a lim [arctan] lim [arctan] →− →+ = + = − + = →− →+ lim arctan a lim arctan b a b