定理的结论被称为“ Newton-Leibniz公式”,公式中的F(b)-F(a) 般记为F(x),也就是 f(x)dx= f(x) Newton- Leibniz公式将“求曲线的切线斜率”和“求曲线所围面 积”这两件看上去风马牛不相及的事和谐地统一起来,是高等数学乃 至整个数学领域中最优美的结论之一。它以非常简单的形式,深刻地 揭示了微分与积分的联系,同时还“指点迷津”,给出了利用原函数 (即不定积分)便捷地计算定积分的途径
定理的结论被称为“Newton-Leibniz 公式”，公式中的 Fb Fa () () − 一般记为 b a xF )( ，也就是 ( )d ( ) b b a a f x x Fx = ∫ 。 Newton-Leibniz 公式将“求曲线的切线斜率”和“求曲线所围面 积”这两件看上去风马牛不相及的事和谐地统一起来，是高等数学乃 至整个数学领域中最优美的结论之一。它以非常简单的形式，深刻地 揭示了微分与积分的联系，同时还“指点迷津”，给出了利用原函数 （即不定积分）便捷地计算定积分的途径
例73.3计算∫xdx 解由jxx=x2+C,取F(x)为x3,由 Newton-Leibniz公式 0 这正是我们在本章§1中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的 面积
例 7.3.3 计算 1 2 0 x dx ∫ 。 解 由 2 3 1 d 3 x x xC = + ∫ ，取 F x( ) 为 1 3 3 x ，由 Newton-Leibniz 公式， 1 2 0 x dx ∫ 3 1 0 3 1 3 1 1 0 3 x =−== 。 这正是我们在本章§ 1 中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的 面积
例73.3计算∫xdx 解由jxx=x2+C,取F(x)为x3,由 Newton-Leibniz公式 0 这正是我们在本章§1中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的 面积。 例7.34求∫ sin xdx 解因为-cosx是sinx的一个原函数,所以 C sin xdx=(-cos x)=-COsT+cos0=2 例7.3.4说明y=sinx的一拱的面积恰为整数2,可算是一个出人 意料的有趣结果
例 7.3.4 求 π 0 sin dx x ∫ 。 解 因为- cos x 是sin x 的一个原函数，所以， π 0 sin dx x ∫ π0 = ( cos ) cos − =− + = x π cos 0 2。 例 7.3.4 说明 y x = sin 的一拱的面积恰为整数 2，可算是一个出人 意料的有趣结果。 例 7.3.3 计算 1 2 0 x dx ∫ 。 解 由 2 3 1 d 3 x x xC = + ∫ ，取 F x( )为13 3 x ，由 Newton-Leibniz 公式， 1 2 0 x dx ∫ 31 0 31 31 10 3 x =−== 。 这正是我们在本章§1 中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的 面积
例7.3.5计算极限lm +…+ →n+1n+2 解将和式改写成 +1n+2 2nn(1+11+n 这相当于在中对函数f(x)21+ 做Ax,≡的等距分割后,在小区间 [x,x上将5取为x1(i=12…,n)的和式∑f(5)Ax。于是, 1 n→以n+1n+2 2n 1+ 1+x =hn(1+x)=hn2, 这就是我们在例2.49所得到的结果
例 7.3.5 计算极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + + n ∞→ + nn 2 n 1 2 1 1 1 lim " 。 解 将和式改写成 1 1 1 2 1 nn n + 2 + + + + " ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ + + + = n n n n n 1 1 1 1 1 11 1 2 " ， 这相当于在[,] 0 1 中对函数 f x x ( ) = + 1 1 做 Δx n i ≡ 1 的等距分割后，在小区间 [ ,] x x i i −1 上将 i ξ 取为 xi（ = ",,2,1 ni ）的和式 1 ( ) n i i i f ξ x = ∑ ⋅Δ 。于是, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + + n ∞→ + nn 2 n 1 2 1 1 1 lim " 0 1 1 lim 1 n i i i x λ→ = ξ = ⋅ Δ + ∑ 1 1 0 0 d ln (1 ) ln 2 1 x x x = =+= + ∫ ， 这就是我们在例 2.4.9 所得到的结果
定积分的分部积分法和换元积分法 分部积分法 由不定积分的分部积分公式 uvax=u dx 可立即推出定积分的分部积分公式。 定理73.3设(x),v(x)在区间[a,b上有连续导数,则 vx)y(x)=(xx-Jxy(xdxy 上式也能写成下列形式 u(x dv(x)=[u(x)v(x)]- v(r)du(x)
定积分的分部积分法和换元积分法 分部积分法 由不定积分的分部积分公式 uv x uv vu x ′d d = − ′ ∫ ∫ 可立即推出定积分的分部积分公式。 定理 7.3.3 设 xvxu )(),( 在区间 ba ],[ 上有连续导数，则 ) ( )d [ ( ) )] ) ( )d b b b a a a u xv x x uxvx vxu x x ( = ( −( ′ ′ ∫ ∫ 。 上式也能写成下列形式 )d ( ) [ ( ) )] )d ( ) b b b a a a ux vx uxvx vx ux ( = ( −( ∫ ∫