第九章数项级数 早在大约公元前450年,古希腊有一位名叫Zeno的学者,曾提 出过若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论,“ achilles(希腊 神话中的英雄)追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。 设乌龟在 achilles前面S米处向前爬行, achilles在后面追赶, 当 Achilles化了t秒时间,跑完S1米时,乌龟已向前爬了S2米;当 Achilles再化2秒时间,跑完S2米时,乌龟又向前爬了S3米;…,这 样的过程可以一直继续下去,因此 achilles永远也追不上乌龟
早在大约公元前 450 年，古希腊有一位名叫 Zeno 的学者，曾提 出过若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论，“Achilles（希腊 神话中的英雄）追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。 设乌龟在 Achilles 前面S1米处向前爬行，Achilles 在后面追赶， 当 Achilles 化了 1t 秒时间，跑完 S1米时，乌龟已向前爬了 S2 米；当 Achilles 再化 2t 秒时间，跑完S2 米时，乌龟又向前爬了S3米；…，这 样的过程可以一直继续下去，因此 Achilles 永远也追不上乌龟。 第九章 数项级数
显然,这一结论完全有悖于常识,是绝对荒谬的。没有人会怀疑, achilles必将在T秒时间内,跑了S米后追上乌龟(T和S是常数)。 Zeno的诡辩之处就在于把有限的时间T(或距离S)分割成无穷段t, t2,…(或S,S2,…),然后一段一段地加以叙述,从而造成一种 假像:这样“追爬-追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事 实上,如果将花掉的时间t,t2,…(或跑过的距离S,S2,…)加 起来,即 t1+t2+…+tn+…(或S+S2+…+Sn+…) 尽管相加的项有无限个,但它们的和却是有限数T(或S)。换言之, 经过时间T秒, achilles跑完S米后,他已经追上乌龟了。 这里的无限个数相加的概念,就是本章要讨论的级数问题
显然，这一结论完全有悖于常识，是绝对荒谬的。没有人会怀疑， Achilles 必将在 T 秒时间内，跑了 S 米后追上乌龟（T 和 S 是常数）。 Zeno 的诡辩之处就在于把有限的时间 T（或距离 S）分割成无穷段 1t ， 2t ，…（或S1，S2 ，…），然后一段一段地加以叙述，从而造成一种 假像：这样“追-爬-追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事 实上，如果将花掉的时间 1t ， 2t ，…（或跑过的距离S1，S2 ，…）加 起来，即 t1 + t2 +"+ tn +" （或 S1 + S2 +"+ n S + …）， 尽管相加的项有无限个，但它们的和却是有限数 T（或 S）。换言之， 经过时间 T 秒，Achilles 跑完 S 米后，他已经追上乌龟了。 这里的无限个数相加的概念，就是本章要讨论的级数问题
§1数项级数的收敛性 数项级数 设x,x2,…xn,…是无穷可列个实数,我们称它们的“和” x1+x2+…+x 为无穷数项级数(简称级数),记为∑x,其中x,称为级数的通项或 般项
数项级数 设 1 x ， 2 x ，…, n x ，…是无穷可列个实数，我们称它们的“和” 1 x + 2 x +"+ xn +" 为无穷数项级数(简称级数)，记为∑ ∞ n=1 n x ，其中 n x 称为级数的通项或一 般项。 §1 数项级数的收敛性
为了对上述的级数求和给出合理的定义,为此构作级数∑xn的 n=1 “部分和数列”{Sn}: xI s=x,tx S3=x1+x2+ Sn=x+x2+…+xn=∑
为了对上述的级数求和给出合理的定义，为此构作级数 ∑ ∞ n =1 n x 的 “部分和数列 ” { n S }： S1 = 1 x ， S 2 = 1 x + 2 x ， S3 = 1 x + 2 x + 3 x ， …… n S = 1 x + 2 x + " + n x = ∑= n k k x 1 ， ……
定义9.1.1如果部分和数列{Sn}收敛于有限数S,则称无穷级 数∑x收敛,且称它的和为S,记为 S=∑x 如果部分和数列{Sn}发散,则称无穷级数∑xn发散
定义 9.1.1 如果部分和数列{ Sn }收敛于有限数S ，则称无穷级 数∑ ∞ n=1 n x 收敛，且称它的和为S ，记为 S =∑ ∞ n=1 n x ； 如果部分和数列{ Sn }发散,则称无穷级数∑ ∞ n=1 n x 发散