注定理7.3.1具有非常重要的意义 首先,它扩展了函数的形式。(dr与我们所熟悉的初等函数形 式迥异,但它确实是一种函数的表示形式,它使我们对函数的认识冲 出了初等函数的束缚,不再囿于这狭窄的范围 其次,它说明了当(x)在上连续时,∫/(正是f(x)在b 上的一个原函数,这就是我们在第六章§3所断言的:任何连续函数 必存在原函数。如∫d是的一个原函数,∫ed是e的一 个原函数,等等。 另外它还给出了对∫(d这种形式的函数求导(通常称为“对积 分上限求导”)的一个法则:(dx)=f(x)
注 定理 7.3.1 具有非常重要的意义。 首先，它扩展了函数的形式。 ( )d x a f t t ∫ 与我们所熟悉的初等函数形 式迥异，但它确实是一种函数的表示形式，它使我们对函数的认识冲 出了初等函数的束缚，不再囿于这狭窄的范围。 其次，它说明了当 f x( )在[,] a b 上连续时， ( )d x a f t t ∫ 正是 f x( )在[,] a b 上的一个原函数，这就是我们在第六章§3 所断言的：任何连续函数 必存在原函数。如 sin d x a t t t ∫ 是 sin x x 的一个原函数， 2 e d x t a t − ∫ 是e − x2 的一 个原函数，等等。 另外它还给出了对 ( )d x a f t t ∫ 这种形式的函数求导（通常称为“对积 分上限求导”）的一个法则：( ) ( )d ( ) xa f t t fx ′ = ∫
例7.31计算F(x)=smvd的导数 解记u=x2,则 F(x)=G(n)=lsin√da 由复合函数求导法则, d d F(x=,G(u).u(x) sin id t l.2x=2 x sin x。 du
例 7.3.1 计算 2 0 ( ) sin d x F x tt = ∫ 的导数。 解 记u x = 2 ，则 0 ( ) ( ) sin d u F x Gu t t = = ∫ ， 由复合函数求导法则， 2 0 d d ( ) ( ) ( ) sin d 2 2 sin d d u u x F x Gu u x t t x x x u u = ⎛ ⎞ ′ ′ = ⋅= ⎜ ⎟ ⋅ = ⎝ ⎠ ∫
例7.31计算F(x)=smvd的导数 解记u F(x)=G(u)= sin vt dt 由复合函数求导法则, d d F(x=,G(u).u(x) sin id t l.2x=2 x sin x。 du sin tdt 例73.2求极限lim x→>0 解由于/(x0,此这个极限是待定型,由 L'Hospital法 sin√tdt sin vt dt 0 2xsin x 2 m Im →0 x→)0
例 7.3.2 求极限 2 0 3 0 sin d lim x x t t → x ∫ 。 解 由于 ( )d 0 a a fx x = ∫ ，因此这个极限是 00 待定型。由 L'Hospital 法 则， 2 0 3 0 sin d lim x x t t → x ∫ 2 0 3 0 sin d lim ( ) x x t t → x ′ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ′ ∫ = → lim sin x x x 0 x 2 2 3 = 2 3 。 例 7.3.1 计算 2 0 ( ) sin d x F x tt = ∫ 的导数。 解 记u x = 2 ，则 0 ( ) ( ) sin d u F x Gu t t = = ∫ ， 由复合函数求导法则， 2 0 d d ( ) ( ) ( ) sin d 2 2 sin d d u u x F x Gu u x t t x x x u u = ⎛ ⎞ ′ ′ = ⋅= ⎜ ⎟ ⋅ = ⎝ ⎠ ∫
定理7.3.1最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理7.3.2(微积分基本定理)设f(x)在{b上连续,F(x)是f(x) 在[ab上的一个原函数,则成立 ∫f(x)dx=F()-F(a)
定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理 7.3.2 (微积分基本定理) 设 f x( )在[,] a b 上连续，F x( )是 f x( ) 在[,] a b 上的一个原函数，则成立 ( )d ( ) ( ) b a f x x Fb Fa = − ∫
定理7.3.1最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理7.32(微积分基本定理)设f(x)在{b上连续,F(x)是f(x) 在[ab上的一个原函数,则成立 ∫f(x)dx=F()-F(a) 证设F(x)是f(x)在[b上的任一个原函数,而由定理7.3.1, ∫(dr也是f(x)在上的一个原函数,因而两者至多相差一个常数 f(tdt= F(x)+C, 令x=a,即得到C=-F(a),所以 f(odt=F(x)-F(a) 再令x=b,便得到 f(x)dx= f(odt= F(b)-F(a
证 设 F x( ) 是 f x( )在[,] a b 上的任一个原函数，而由定理 7.3.1， ( )d x a f t t ∫ 也是 f x( )在[,] a b 上的一个原函数，因而两者至多相差一个常数。 记 ( )d ( ) x a f t t Fx C = + ∫ ， 令x = a ，即得到C Fa = − ( )，所以 ( )d ( ) ( ) x a f t t Fx Fa = − ∫ 。 再令 x = b，便得到 ( )d ( )d ( ) ( ) b b a a f x x ft t Fb Fa = =− ∫ ∫ 。 定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理 7.3.2 (微积分基本定理) 设 f x( )在[,] a b 上连续，F x( )是 f x( ) 在[,] a b 上的一个原函数，则成立 ( )d ( ) ( ) b a f x x Fb Fa = − ∫