§4任意项级数 任意项级数 个级数,如果只有有限个负项或有限个正项,都可以用正项级 数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项, 又有无限个负项,那么正项级数的各种判别法不再适用 这样的级数,即通项任意地可正或可负的级数,称为任意项级数
任意项级数 一个级数，如果只有有限个负项或有限个正项，都可以用正项级 数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项， 又有无限个负项，那么正项级数的各种判别法不再适用。 这样的级数，即通项任意地可正或可负的级数，称为任意项级数。 §4 任意项级数
定理941(级数的 Cauchy收敛原理)级数∑xn收敛的充分 必要条件是:对任意给定的ε>0,存在正整数N,使得 xn+1+xn2+…,+x ,<E 对一切m>n>N成立。 定理结论还可以叙述为:对任意给定的E>0,存在正整数N,使 得 n+1 n+2 x <8 k=1 对一切n>N与一切正整数p成立
定理 9.4.1（级数的 Cauchy 收敛原理） 级数∑ ∞ n=1 n x 收敛的充分 必要条件是：对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使得 ｜xn+1 + xn+2 + … + xm｜= ∑ += m nk k x 1 < ε 对一切 m >n >N 成立。 定理结论还可以叙述为：对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使 得 ｜xn+1+ xn+2 + … + xn+p｜= ∑ = + p k kn x 1 < ε 对一切 n >N 与一切正整数 p 成立
定理941(级数的 Cauchy收敛原理)级数∑xn收敛的充分 必要条件是:对任意给定的ε>0,存在正整数N,使得 xn+1+xn2+…,+x ,<E 对一切m>n>N成立。 定理结论还可以叙述为:对任意给定的E>0,存在正整数N,使 得 m+1+xn+2+ x <8 k=1 对一切n>N与一切正整数p成立 取p=1,上式即为|xn1|<,于是就得到级数收敛的必要条 件 limx=0
取 p = 1，上式即为｜xn+1｜< ε ，于是就得到级数收敛的必要条 件lim n→∞ xn = 0。 定理 9.4.1（级数的 Cauchy 收敛原理） 级数∑ ∞ n=1 n x 收敛的充分 必要条件是：对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使得 ｜xn+1 + xn+2 + … + xm｜= ∑ += m nk k x 1 < ε 对一切 m >n >N 成立。 定理结论还可以叙述为：对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使 得 ｜xn+1+ xn+2 + … + xn+p｜= ∑ = + p k kn x 1 < ε 对一切 n >N 与一切正整数 p 成立
Leibniz级数 定义94.1如果级数∑x=∑(-1)un(ln>0),则称此级数为 交错级数。 进一步,若级数∑(-un(n>0)满足{mn}单调减少且收敛 于0,则称这样的交错级数为 Leibniz级数
Leibniz 级数 定义 9.4.1 如果级数∑ ∞ n=1 n x = ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u （un >0），则称此级数为 交错级数。 进一步，若级数 ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u （un >0）满足｛un｝单调减少且收敛 于 0，则称这样的交错级数为 Leibniz 级数
Leibniz级数 定义94.1如果级数∑x=∑(-1)un(ln>0),则称此级数为 交错级数。 进一步,若级数∑(-un(n>0)满足{mn}单调减少且收敛 于0,则称这样的交错级数为 Leibniz级数。 定理942( Leibniz判别法) Leibniz级数必定收敛。 证首先有 n+1+xm+2+…+xn h2+l13-…+(-1) punt|。 当p是奇数时, un+1-un+2 tun+3 untp (n+1-ln2)+(un13-ln+4)+…+lmp>0 L+1-(ln+2-ln+3)-… l1.)≤l n+p- P n+13
定理 9.4.2（Leibniz 判别法） Leibniz 级数必定收敛。 证 首先有 ｜xn+1 + xn+2 + … + xn+p｜ = ｜un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1un+p｜。 当 p 是奇数时， un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1un+p = ⎩⎨⎧ ≤−−−−− >++−+− + ++ +−+ + ++ ++ + ()( ;) )()( ,0 1 32 1 1 21 43 n nn npnpn nn nn pn uuu uuu uuuu u " " Leibniz 级数 定义 9.4.1 如果级数∑ ∞ n=1 n x = ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u （un >0），则称此级数为 交错级数。 进一步，若级数 ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u （un >0）满足｛un｝单调减少且收敛 于 0，则称这样的交错级数为 Leibniz 级数