§5无穷乘积 无穷乘积的定义 设p1,p2,…,pn,…(pn≠0)是无穷可列个实数,我们称它 们的“积” P1·P2 P 为无穷乘积,记为∏Pn,其中pn称为无穷乘积的通项或一般项
无穷乘积的定义 设 p1，p2，…， n p ，…（ ≠ 0 n p ）是无穷可列个实数，我们称它 们的“积” ⋅ 21 ⋅ ⋅ ppp n ⋅"" 为无穷乘积，记为∏ ∞ n=1 pn ，其中 n p 称为无穷乘积的通项或一般项。 §5 无穷乘积
与级数相类似,需要对上述的无穷乘积给出合理的定义。为此构 作无穷乘积∏Pn的“部分积数列”{Pn} P1 P2=p1·P2 B3=p1·p2·p3y P=p,. p2 Pn=∏
与级数相类似，需要对上述的无穷乘积给出合理的定义。为此构 作无穷乘积 ∏ ∞ n =1 p n 的“部分积数列”｛ Pn｝： P1 = 1 p ， P2 = pp 21 ⋅ ， P3 = ppp 321 ⋅ ⋅ ， … Pn = ppp n ⋅ ⋅"⋅ 21 = ∏= n k k p 1 ， …
定义9.5.1如果部分积数列{P}收敛于一个非零的有限数P, 则称无穷乘积∏Pn收敛,且称P为它的积,记为 如果{Pn}发散或{P}收敛于0,则称无穷乘积∏P发散
定义 9.5.1 如果部分积数列｛Pn｝收敛于一个非零的有限数 P， 则称无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 收敛，且称 P 为它的积，记为 ∏ ∞ n=1 pn = P 。 如果｛Pn｝发散或｛Pn｝收敛于 0，则称无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 发散
定义9.5.1如果部分积数列{P}收敛于一个非零的有限数P, 则称无穷乘积∏Pn收敛,且称P为它的积,记为 如果{Pn}发散或{P}收敛于0,则称无穷乘积∏P发散。 注意:当imP=0时,我们称无穷乘积∏Pn发散于0,而不是 收敛于0。在学习了无穷乘积收敛的充分必要条件后将会知道,它使 无穷乘积的收敛性与无穷级数的收敛性统一起来
注意：当 n n P ∞→ lim = 0 时，我们称无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 发散于 0，而不是 收敛于 0。在学习了无穷乘积收敛的充分必要条件后将会知道，它使 无穷乘积的收敛性与无穷级数的收敛性统一起来。 定义 9.5.1 如果部分积数列｛Pn｝收敛于一个非零的有限数 P， 则称无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 收敛，且称 P 为它的积，记为 ∏ ∞ n=1 pn = P 。 如果｛Pn｝发散或｛Pn｝收敛于 0，则称无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 发散
定理95.1如果无穷乘积∏Pn收敛,则 n→) m n=m+1 证设∏P的部分积数列为{P},则 n=1 lim p=lir n→∞P P ∏pn=lim n→ P
定理 9.5.1 如果无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 收敛，则 (1) lim n→∞ Pn = 1； (2) m ∞→ lim ∏ ∞ mn += 1 pn = 1。 证 设∏ ∞ n=1 pn 的部分积数列为｛Pn｝，则 lim n→∞ pn =lim n→∞ n−1 n P P = 1； m ∞→ lim ∏ ∞ mn += 1 pn = m ∞→ lim ∏ ∏ = ∞ = m n n n n p p 1 1 =1