第2章维向量空间 2.1n维向量及其运算 内容精要 定义】数城P中”个数组成的有序数组 （a1,a2,.,an) 称为数域P上一个n维向量，其中第i个数a:称为这个向址的第： 个分量 我们用小写希腊字母c,B,7,.等表示向量， 定义2如果维向量 c=(a1a23.,a)与B=(b1b2,.,bn) 的对应分量都相等 a4=6(往=1,2，.，n), 就称这两个向量是相等的，记作=B. 定义3设c=(a1a.,a)与B=(,b,.,b)是数城P上 的两个向量，k是数城P中的一个数，则 c与B的和为：c十B=(a十b,a2十b,“,a.十a): a与B的差为：a-=(a1-6a4一b,.,a,一b小； k与a的数量乘积为：ba=(ka1,baz,.,kan). 向量的加法、减法与数乘统称为向量的线性运算， 分量全为零的向量 (0,0,.,0) 称为零向量，记作0.向量 ·26·
(-a1,-ag,.,-a.) 称为向量a=(a1,a2,.,a.)的负向量，记作一a. 向量的线性运算满足下述一些规律： (1)c+B=B+a (2)a+(B+)=(a十)+y: (3)a十0=a: (4)a+(-a)=03 (5)k(ta)=(l)a: (6)1·aea: (7)k(a十=ka十kB, (8)(k+l)a=a+la: (9)0·a=0; (10)(-1)c=-a: (11)k·0=0: (12)如果k≠0，c≠0，则c≠0. 定义4数域P上的n维向量的全体，同时考患到定义在它 们上面的线性运算，称为数域P上的#维向量空间，记作P. 实数域上的向量空间称为实向量空闻.其中的向量称为实向 量：复数城上的向量空间称为复向量空间，其中的向量称为 复向量. 习题2.1 1.设c=(1,0,-1,2)，B=(3,2,4,一1)，计算：一a,2a, a-B,5a+4月 2.设a=(5,-1,3,2,4),B=(3,1,-2,2,1), 求向量y,使 3a+y=4月. 3.已知 ·27·
a+B=(2,1,5,2,0),a-B=(3,0,1,-1,4). 求a,B. 4.设 3c+49=(2,1,1,2),2a+38=（-1,2,3,1). 求a,A 5.设n维向量 61=（1,0,.,0), 62=(0,1,.,0), 华4+年华中女 6。=(0,0,.,1). 求a后1十a6十十aw5. 6.证明向量的线性运算满足运算规律(1)一(8)式 解答 1.答：-a=(一1,0,1，-2)；2a=(2,0,一2,4)： a-B=（-2,-2,-5,3): 5c+4β=(17,8,11,6). 2.解：Y女4p-3c=(-3,7,-17,2,-8). 3蓄：-（32-(-2,2-2 4.答：a=(10,-5,一9,2)，=(-7,4,7，-1). 5.答：a161+a2++aw6,=(aag,a.). 6.证明：(1)设c=(a1a2.,a.),=(b1,b2,.b),于是 c+B=(a1+b,ag十b,.,ae十b) =(6+a1b+a2,.,b.+a)=B+a (5)k(a十)=k(a1十ba2十b2,aw十b,） =(k(a1十b),k(az十b2),.,k(an十b.) =(ka,十b,kag十bb,.,ka.十kb.) ·28·
=(ka1,ka2,.,kan)+(kb,bz,.,khn) =k(a1,a红，.，a)十k(b,b2,",b）=c十k6 (余略，都可用定义直接证明.) 2.2线性相关性 内容清要 1.线性表出与等价 定义5心，c,.,a,B都是数城P上的n维向量.如果有数 城P中的数1，k2,",k,使得 B=ka1十kC2十.十是8， 就说B是c,a2,.,C,的线性组合，或者说B可以由向量组a1,a2, .,心线性表出. 年 a1=(a1a1z,.y1), az=(a21a2z.,aa) g=(a,a2,.,aw）, B=(6,b2,.b). 则日可以由1，C2,.,C线性表出的充分必要条件是线性方程组 [a1x1+a2xg十.+a1x,=b1, a1x1十a2xg十十ax,=b2, . a1mx:十ax2十.十awx,=b, 有解.而且此方程组的每个解都可取作B表成，2，·，a,的线性 组合的系数 向量 ·29
6=(1,0,0,0), E2=(0,1,0,0), =(0,0,0,.,1) 称为n绿基本向量.任一n维向量c=(a1a2,“,ae)都可表成6， ,.,6,的线性组合 c=a161十a+.十a 定义6如果向量组c,心2，“，a,中每个向量都可由向量组 月，月，.，民线性表出，那么就说向量组a1,c2,c可由向意组 月，A,.,A线性表出.如果两个向量组可以互相线性表出，就称 它们是等价的. 向量组之间的等价关系有下面3个性质： (1)反身性：每一个向量组都与它自身等价； (2)对称性：如果向量组a,c2,.,心与向量组月，月，.，月 等价，那么向量组月，月，A也与向量组c1,2,.,G等价， (3)传递性：如果向量组1，a2,.,心与向量组月，月，.，民 等价，向量组民，A,A与向量组.y,等价，那么向量组 a1,a,.,心，与向量组y1,y2,.,y等价. 由此可知，如果向量c可由向量组月，A,·,A线性表出：向 量组月，月，.，A可由向量组Y,Y2,.,Y。线性表出，那么c可由 Y1,Y2,.,y,线性表出. 2。线性相关性 定义71，a2,.,a都是数域P上的n维向量组.如果有数 域P中不全为零的数品1地2，.，k,使得 k1a十ka2十.十b8=0, 就称向量组a,C,.,a栽性相关。 定义8如果向量组a,2,心，不是线性相关的，就称为战 性无关的.也就是说，向量组G,2,.,a称为线性无关的，如果 ·30·