第二章随机变量与概率分布 分布函数定义： 例1. 设随机变量ξ的分布函数为 F(X=PE≤X}.-co<x<+o 0x<0 分布函数(x)实质上表示随机 F(x)= sinx0sx<元/2 则Pξ≤π4}=() 事件P≤x}发生的概率。 1 x>T门 分布函数Fx的性质 (选C,因为P{传≤π/4；=F(π/4=sinπ/4) (I)0≤Fx)≤1 A、0 B、12 C、22 D、1 随 (2)lim F()=0 例2.设随机变量51和的分布函数分别为FK)和F2(x), lim F(x)=1 为使F(x厂aF1(x)-bF2(x)是某随机变量的分布函数，则在 下列给定的各组数值中应取() 必 A、a=3/5.,b=-2/5 B、a=3/5,b=25 (3)单调非减，当x1<x2时， C、a=3/5,b=-3/5 D、a=2/5,b-2/5 F(XI)≤F(x2) (选A,因为F(+oFl=aF1(+o)-bF2(+oFa-b) lim 例2. 连续型随机变量ξ的分布函数为 函④右连续 X→x0 F(x)=A+B arctanx F(x)=F(xo) 求：()常数A,B:(2)E落入(-1,1)的概率。 些概率可用分布函数来表 [解]：因为F(∞F,F(∞=0，所以A+Bπ2=1，A Bπ/2=0， P{a<≤b}=FbF(a, P(=a)=F(a)-F(a-0). 解得A=12,B=1h.即FK=+ arctanx P(E<a]=F(a-0). 5落入(-1,1)的概率为P{-1<5<1=F1F-1) P(>a)=1-F(a). P{5≥a}=l-F(a-0 arctanl -(arctan(-1) 离定义：随机变量只能取有限个或可数个孤立的值离散型随机变量的概率分布简称为分 布列： X XI X3 机 概率 其中每一个≥0且立= 变离散型随机变量的分布函数是非降的阶梯函数
第二章 随机变量与概率分布 随 机 变 量 的 分 布 函 数 分布函数定义： F(x)=P{≤x}, -<x<+ 分布函数(x)实质上表示随机 事件 P{≤x}发生的概率。 分布函数 F(x)的性质 (1)0≤F(x)≤1; (2) ( ) 0 lim- = → F x x ( ) 1 lim = →+ F x x (3)单调非减，当 x1<x2 时， F(x1)≤F(x2) (4) 右连续 lim x→x0 + F(x)=F(x0) 一些概率可用分布函数来表 示 P{a<≤b}=F(b)-F(a), P{=a}=F(a)-F(a-0), P{<a}=F(a-0), P{>a}=1-F(a), P{≥a}=1-F(a-0), 例1. 设随机变量 的分布函数为 F(x)= 0 x<0 sinx 0x</2 1 x/2 , 则 P{≤/4} = ( ) (选 C，因为 P{≤/4} =F(/4)=sin/4) A、0 B、1/2 C、 2 /2 D、1 例 2.设随机变量 1 和 2 的分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)， 为使 F(x)=aF1(x) - bF2(x)是某随机变量的分布函数，则在 下列给定的各组数值中应取 ( ) A、a=3/5,b=-2/5 B、a=3/5,b=2/5 C、a=3/5,b=-3/5 D、a=2/5,b=2/5 (选 A，因为 F(+∞)=1= aF1(+∞) - bF2(+∞)=a-b ) 例2. 连续型随机变量 的分布函数为 F(x) = A + B arctanx, -∞<x<∞ 求：(1) 常数 A,B； (2) 落入（-1，1）的概率。 [解]：因为 F(+∞)=1, F(-∞)=0，所以 A + B/2=1，A - B/2=0， 解得 A=1/2, B=1/ . 即 F(x) = 1 2 + 1 arctanx . 落入（-1，1）的概率为 P{-1<<1}=F(1)-F(-1) = 1 2 + 1 arctan1 – ( 1 2 + 1 arctan(-1))= 1 4 + 1 4 = 1 2 离 散 型 随 机 变 定义：随机变量只能取有限个或可数个孤立的值离散型随机变量的概率分布简称为分 布列： X x1 x2 x3 . xn . 概率 p1 p2 p3 . pn . 其中每一个 pi≥0 且 1 1 = = n i pi 离散型随机变量的分布函数是非降的阶梯函数
量离散型随机变量常见分布： 1)两点分布X~0,1):X的取值只有0或1，其概率为P(X-0}=p,P(X=1}=1-p 2)二项分布X-B(n,p:分布律为b(k:n,pFPX=k}=Cnp(1-pPk(k=0,1,2,3.,n)其中 0<p<1 3)泊松分布X-PO):分布律为P(Xk=行e2(k=01,23)· 4儿何分布：XGep:分布列为PX=k=(1-p-pk0,12,3.) 在伯努利试验 子列中 记每次试验 爭件A 发生的概率为P,如果X为事件A首次 出现时的试验次数，则X的可能取值为1,2，称X服从几何分布。 )超几何分布：XnN:分布列为PXCC选 k=0,1,2,3.,其中 CR =min{M,ny)。 设有N个产品，其中有M个不合格品，若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有 的不合格品个数X服从超几何分布
量 离散型随机变量常见分布： 1)两点分布 X~(0,1)；X 的取值只有 0 或 1，其概率为 P{X=0}=p, P{X=1}=1-p 2)二项分布 X~B(n,p)；分布律为 b(k;n,p)= P{X=k}= Cn k p k (1-p)n-k (k=0,1,2,3,.,n) 其中 0<p<1 3)泊松分布 X~P()；分布律为 P{X=k}= k k! e - (k=0,1,2,3,.) 。 4)几何分布：X~Ge(p)；分布列为 P{X=k}= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,.) 。 在伯努利试验序列中，记每次试验中事件 A 发生的概率为 p，如果 X 为事件 A 首次 出现时的试验次数，则 X 的可能取值为 1,2,.,称 X 服从几何分布。 5)超几何分布：X~ h(n,N,M)；分布列为 P{X=k}= CM k CN-M n-k CN n (k=0,1,2,3,.,r, 其中 r=min{M,n}) 。 设有 N 个产品，其中有 M 个不合格品，若从中不放回地随机抽取 n 个，则其中含有 的不合格品个数 X 服从超几何分布
例1设随机变量：的分布列为Pk六， [解：ξ的分布列为 14 k12,则常数C= () 概率p 0.90.090.0090.090.000 A、14 B、12 C、1 D、2例3设离散型随机E012 变量5的概率分布P0.30.50.2 型例题 因为会L即品1所以务费 其分布函数为Fx,则F(3() A、0 B、0.3 C、0.8 D 例2某射手有5发子弹，射一次命中的概（选D,因为F3)Fp0+p(1)+p2)I) 率为0.9，如果命中了就停止射击，否则一 直射到子弹用仅。求耗用子弹数ξ的分布 列。 定义： 随机变量可能取的值连续地充满 一个范连续型型随机变量的性质 围，如果对于随机变量ξ的分布函数F(x),存在 1分布函数是连续函数： 连、 非负可积函数x),使得对于任意实数x,有2F'(x=x: 3 PlE=al=0 性Fx」.fu)du,则称为连续型随机变量 所以P{a<E<b}=P{a<Esb} 随机变量 =P(as<b)=P(a<E<b)=f afx)dx (I)fx)20,-∞<x<+∞ 4P{x<5sX+Ax}≈fx)Ax (2)j.fx)dx=F+o∞上1
离 散 型 例 题 例 1 设随机变量 的分布列为 P{=k}=C 2 k ， k=1,2,.，则常数 C= ( ) A、1/4 B、1/2 C、1 D、2 ( 因 为 k =1 P{=k}=1, 即 c/2 1-1/2 =1, 所 以 c=1 ) 例 2 某射手有 5 发子弹，射一次命中的概 率为 0.9，如果命中了就停止射击，否则一 直射到子弹用仅。求耗用子弹数 的分布 列。 [解]： 的分布列为 1 2 3 4 5 概率 p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001 例 3 设离散型随机 变量 的概率分布 为 0 1 2 p 0.3 0.5 0.2 其分布函数为 F(x)，则 F(3)= ( ) A、0 B、0.3 C、0.8 D、1 (选 D，因为 F(3)=p(0)+p(1)+p(2)=1) 连 续 性 随 机 变 量 定义：-随机变量可能取的值连续地充满一个范 围, 如果对于随机变量 的分布函数 F(x)，存在 非负可积函数 f(x)，使得对于任意实数 x，有 F(x)= -∞ x f(u)du， 则称 为连续型随机变量， 其中 p(x)为的概率密度函数. 密度函数必须满足条件： (1) f(x)0, -∞<x<+∞ (2) -∞ +∞ f(x)dx=F(+∞)=1 连续型型随机变量的性质： 1.分布函数是连续函数； 2 F(x)=f(x); 3 P{=a}=0, 所以 P{a<b}= P{ab} = P{a<b}=P{a<<b}= a b f(x)dx 4 P{x<x+x} f(x)x
常见连续型型随机变量的分布： 1 1)均匀分布ξU[ab:密度函数px aKx≤b (0其他 0 x<a 分布函数Fx x-b 2)指数分布5epa:密度函数p收入ce 0x<0 分布函数F(x尸 (1-e-ix x20 10 x<0 3)正态分布N山，G2:密度函数px 0V222 (-oo<x<+oo) 分布函数Fx V2元 标准正态分布NO,).它的分布函数x)可查表得到，一般FK)。 正态分布的密度函数的曲线是钟形对称曲线，对称轴为直线x=山，y=0是它的水平渐近 线。 例1设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX=EX2= [解]：因为X服从参数为1的泊松分布，所以EX2=DX+(EXP=1+12=2, 于是PX=EX2=PX2y1D 例2设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间EX 续 为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便 关机。试求该设备每次开机无故障的时间Y的分布函数Fy) 解：X-E0), 因为EX= /n=5 15,每次开机无故障的时间Y=min(X,2 易见当y<0时，Fy户0：当y22时，Fy1: 当0sy<2时，F6 V)=P(Ysy}=P{minX,2}sy}=PXsy=l-eys。 0若v0 所以Y的分布函数FyF1-ey5若0sy<2 1若y22
常见连续型型随机变量的分布： 1) 均匀分布 ~U[a,b]；密度函数 p(x)= 1 b-a axb 0 其他 分布函数 F(x)= 0 x<a x-a b-a axb 1 x>b 2) 指数分布 ~exp()；密度函数 p(x)= e -x x0 0 x<0 分布函数 F(x)= 1-e -x x0 0 x<0 3)正态分布 ~N(, 2 )；密度函数 p(x)= 1 2 e - (t-) 2 2 2 (-∞<x<+∞) 分布函数 F(x)= 1 2 - x e - (t-) 2 2 2 dt 标准正态分布 N(0,1)，它的分布函数 (x)可查表得到，一般 F(x)=( x- )。 正态分布的密度函数的曲线是钟形对称曲线，对称轴为直线 x=，y=0 是它的水平渐近 线。 连 续 型 例 题 例 1 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 P{X=EX2}= . [解]：因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 EX2=DX+ (EX)2=1+12=2， 于是 P{X=EX2}=P{X=2}=1 2 e –1 例 2 设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间 EX 为 5 小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便 关机。试求该设备每次开机无故障的时间 Y 的分布函数 F(y)。 [解]: X~E(), 因为 EX=1/=5 =1/5, 每次开机无故障的时间 Y=min{X,2}, 易见当 y<0 时，F(y)=0；当 y2 时，F(y)=1； 当 0y<2 时，F(y)=P{Yy}=P{ min{X,2}y}=P{Xy}=1-e -y/5。 所以 Y 的分布函数 F(y)= 0 若y<0 1-e -y/5 若0y<2 1 若y2
1.离散型的求法 ,则X的函数Y=g(X)的分布律 随机 为：)⊙-门当有相同情况时，概率为相应之和。 2。连统型的公式法， 的函数 设X为连续型随机变量，其密度函数为6xx),设x)是一严格单调的可导函数，其值 域a,],且g'x)≠0，记x=hy)为y=g()的反函数，则Y=gX)的密度函数为 的5 )o用 分布 3.连续型的直接变换法（分布函数法）为 Fy(y)-P{Yy}=P{gx)y=P(XeS,其中S={xgx)y;,然后再把Fvy)对y求导，即 得fy) ∫dFy(y)dy当Fyy)在y处可导时 f0厂0当Fv在y处不可导时
随 机 变 量 的 函 数 的 概 率 分 布 1．离散型的求法 设离散型随机变量 X 的分布律为： X x1 x2 . xk . P p1 p2 . pk . ,则 X 的函数 Y=g(X)的分布律 为： Y g(x1) g(x2) .g(xk) . P p1 p2 . pk . , 当 g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。 2．连续型的公式法： 设 X 为连续型随机变量，其密度函数为 fX(x)，设 g(x)是一严格单调的可导函数，其值 域 [,] ， 且 g(x)0 ， 记 x=h(y) 为 y=g(x) 的 反 函 数 ，则 Y=g(X) 的密 度 函 数 为 fY(y)= fX(h(y))|h(y)| <y< 0 其它 3．连续型的直接变换法(分布函数法)： FY(y)=P{Yy}= P{g(x)y}= P{XS}，其中 S={x|g(x)y}，然后再把 FY(y)对 y 求导，即 得 fY(y) fY(y)= dFY(y)/dy 当FY(y)在y处可导时 0 当FY(y)在y处不可导时