复习题1 1.解下列线性方程组： 2x1一2红2-3x3=1, 3x1+x2-5xa=10, (1) 4x1-x2+3x1=-1, 、x1+3x2+9x1=-2; x1-2xg十xa十x4=1, (2) x1-2x2十1-x=-1， 2x1一4x2+2x1十3x4=2: 〔x1十x2十xg十x4+x3=7, x -xa-x,-5x3=-16, (3) x1十2x2+3x十3z.十7x6=30, (4x1+3xg-4x3+2x4一2x6=5: x1+3x2-5xg-5x =2, x1+2x2+2x3-2x4+x5=-2, (4) 2x1+x2十3x1-3x4=2, x1一4zg十xg十x4-xs=3, x 十3x3-x4+x5=1. 2。解下列齐次线性方程组： 2x1十3x2-xa+5x4=0, 3x1-x2+2x3一7x4=0, (1) 4z1+x2-3x十6x=0, x1-2x1+4x4-7x4=0, ·21·
(x1一x2十2x3一x4 =0, x1十x2 (2) -3x4-x=0, 4x1-2x2十6x1十3x4-4zx5=0, 2x1十4x2-2x3十4x4-7xs=0影 [x1-2x2十x3一x4十xs=0, 2x1十x2-工1十2x4-3x=0, (3) 3x1-2江2一x3十x4-2x3=0, (2x1-5x2十x1-2x-2x=0. 3.求a,b,使线性方程组 (x1十2xg十xg十x4十xs=1, 3x1十4x2十x3十x4十3xs=a, xI 一工3一x1十x5=一2， (5x1十4x2一x,-x,十5x6=b. 有解，并在有解时求出一般解. 4.讨论a,b取什么值时，齐次线性方程组 「ax1十x2十xa=0, x1十bx2十x3=0, x1十2bx2十x3=0. 有非零解，并求出一般解. 5.a是一个实数，证明齐次线性方程组 [ax1-8x2-xa=0, 3x1十ax2十z=0, (2x1十2xe十x=0. 只有零解. 6.确定意，1的值，使钱性方程组 {x1十x2十kxa=l, 3x1十4xz十2x=k, 2x1十3x2-x4=1. ·22·
(1)有唯一解：(2)有无穷多解：(3)无解. 7.求a使线性方程组 2x1-x2-xs=2, 工1-2x2十x=a, x1十x2-2x1=a2. 有解，并在有解时求一般解 8.设P1,P2是两个数域，令P表示P1与Pz的交，即 P={a|a∈P,且a∈Pz} 证明P是数城 解答 1.答：(1)有唯一解(1,2，一1)： (2)无解： (3)有无穷多解，一般解为 (x1=-16+x+5x5, z2=23-2x-6x6, x4=0. 其中x4,x5为自由未知量， (4)有唯一解-8子，-3号，1号，-6，-1号)： 2。答：(1》只有零解. (2)一般解为 x4=西十名 x= 其中x3,x5为自由未知量. ·23·
(3)一般解为 =一 1 x3=x4 ,xs=0. 其中x4为自由未知量. 3.答：当a=0,b=一4时有无穷多解，一般解为 x=-2十十王4-x5, x2=多-五-x 2 其中x,x4,x为自由未知量. 4。解：将系数矩阵化为阶梯阵 [a11)1b 11 A=161→0b0 112b1l01-ab1-a 101） →011-a. 00b(a-1) 所以当a=1或b=0时有非零解.一般解为 ∫工=一x, x4=(a-1)xa x5为自由未知量. 5.证：将系数矩阵进行初等行变换 [a-8-1122 1 A=3a1→02a-6 1 2210-2a-16-a-2 ·24
21）221 02a-6-1J00-a2-2 因为a是一个实数，所以a≥0，-a2-2<0.因此r(4)=3,此齐 次方程组只有零解. 6.答：(1)≠3时有唯一解： (2)k=3,=2时，有无穷多解： (3)当=3,1≠2时，无解。 7.答：a=1或一2时有解， 当a=1时，一般解为 ∫x=1十x, I:=s. 其中x为自由未知量， 当a=一2时，一般解为 ∫工1=2十x 1x2=2十x: 其中x,为自由未知量. 8.证：因为P1,P2都是数城，所以，0,1在P1及P,中，因此0， 1在P中. 任取P中两个数a,b,则a,b在P及Pz中.由于P1,P2都是 数城，所以a十b,a-b,ab及a/B(b≠0)都在P1及P:中.根据P的 定义，这些数都在P中，因此P是个数城 ·25·