等式 k181十k282十+十k8=0 只有当 k:=k=.=k,一0 时才成立. 设 a1=(a1az,.,a1.）, c2=(a1ya2,an）, g=(a1aa,a.） 则，2，·，心，线性相关的充分必要条件是齐次方程组 [a11x1+a1x2+.+a1z=0, a十a十.+aex,=0 a1wx1十aa2十.十am，=0. 有非零解。 定理1设a,a2,.,C,与月，A,.,A是两个向量组.如果 (1)向量组a1,a,.,心可由月，月，.，月线性表出， (2)s>t, 那么向量组1，a2,.,C一定线性相关. 推论1如果向量组c,a,.,8,可由向量组月，月.，兵线 性表出，而且高，心2.，C线性无关，那么5≤ 推论2任意”十1个：维向量一定线性相关。 推论3两个线性无关的等价的向量组一定包含相同个数的 向量 定理2向量组1，·，a(s≥2)线性相关的充分必要条件 是%，c2,·,a中有一个向量可以被其余的向量线性表出. 定理3如果向量组C,C,.,心，线性无关，而a1,“,心， ·31
B线性相关，则B可以由cG,a,.,a线性表出，并且表法唯一 习题2.2 1.把向量B表成向量组a1,az,c4的线性组合 (1)=(1,2,1,1), 81=(1,1,1,1),2=(1,1,-1,-1), a4=(1,-1,1,-1),c4=(1,-1,-1,1): (2)=(1,1,-1,-1), a1=(1,1,1,1),2=(1,-1,1,-1), c4=(1,-1,-1,1),a=(1,1,3,-1), (3)=(0,2,0,-1), c=(1,1,1,1),a2=(1,1,1,0). a3=(1,1,0,0),c4=(1,0,0,0): (4)B=(0,1,0,1,0), a=(11,1,1,1),c=(1,2,1,3,1), =(1,1,0,1,0),c=(2,2,0,0,0) 2.等价的向量组所包含的向量个数是否必须相等？试举例 说明. 3.试证明：如果B可以由c1,02,·,a线性表出，那么对于任 意向数a+1,.,c(t>s),B总可以由C1,a2,.,心，C+1,.,c线 性表出。 4.设 B=(h1,b2,.,b.),=(6,b2,.,b), a=(a1a12,.,a1n),=(a11a12,a1）, ag=(a1,aa,.,a),c=(a21a.,am）, a=(an,a,.am), c,=(a1aa,.,a). ·32
其中m≤n,试证明：如果B可以由a,心.，a线性表出，那么，P 可以由，c吃，.，忒线性表出. 5.判断下列向量组是否线性相关，说明理由. (1)=(2,2,7,-1),2=(3,-1,2,4),=(1,1,3,1)y (2)c1=(3,2,一5,4)，a2=(3,-1,3,-3), a1=(3,5,-13,11); (3)a1=4,3,-1,1,-1),a2=(2,1,一3,2，一5)， a3=(1,-3,0,1,一2)，c4=(1,5,2,-2,6): (4)81=(1,2,1,-2,1),c2=(2,-1,1,3,2), a3=(1,-1,2,-1,3),a=(2,1,-3,1,-2) a=(1,-1,3,-1,7). 6.假设向量B可以由1,2，.，心线性表出.求证：表法唯一 的充分必要条件是向量组，G2,“,a,是线性无关的. 7.设a1,a,C线性无关，证明：1+a2,C2十c,a十a1也线 性无关 8.1,2,.,0,是一组向量.假设 (1)a+0, （2)每个心(i=2,3,.,s)都不能被所1,2.，-1线性表出. 求证：C1,c2,.,a,线性无关。 解答 1.(1)解：设=k1C1十kza2十kc3十，a4,比较各分量得 k1十k:十s十是=1， 兔1十k2一k4一克4=2， k1一k2十ka一克，=1， k,一k2一k十k=1. 解得 ·33·
k1=5,a=子，k=-k:=一子 所以 =a+-a,-a (2)解：设B=1a十a,十a十a.比较各分量得 「1十是2十k,十k4=1, k一k2一kg十k4=1， :+是2一k十3k,=一1， k1一k2十是：-k4=一1. 因为这个线性方程组无解，所以B不能由a1,a2,.,a,线性表出. (3)答：=-1十a2十2a,-2a (4)答：B=-a+-+2, 2.答：不一定.例如，向量组 a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a=(1,-1,0) 与向量组 月=(1,2,0)，A=(2,1,0) 等价，但是所含向量的个数不相等.当然，也可以相等，例如向量组 ,c与向量组月，月等价，且所含向量的个数相等. 3.证明：因为B可以由%1，G2,.,心线性表出，故存在一组 数k1,k2,k使得 B=ka1十kza2十.十kc 于是 B=k1c+k2a十.十ka十0·C+1十.+0·%： 这说明P可由G,a2.,心，心+1，.，线性表出. 4.证明：如果B可以由a1,C2,.,c,线性表出，则有数k1k2, .,使得 ·34·
B=k1C十k22十.十k 比较分量得 b=是am十kza2知十.十ka1, b=k1a1m十kga2n十.十kam, 票年水中后中中中果小中小原0年▣e原年年中 b.=k1a+kza2n十.+kan 其中前面m个等式说明 B'=k十ka站+.十k,g 即B'可以由，欧，.，d线性表出. 5.(1)解：如果数k1,k,k,使k1c1十是02十ka3=0,那么克1， k2,k必满足 「2k,+3k2十k,=0, 2k1一k2十k3=0, 7k1十2k2十3kg=0, 一k1十4k2十k,=0. 这个齐次方程组只有零解，所以a1,c2,心，是线性无关的. (2)答：线性相关.(3)答：线性相关.(4)答：线性无关。 6.证明：已知B可以由，a,线性表出，不妨设 B=k1s1十k十.十a. 充分性的证明，设c,c,.,c,线性无关.如果P还可表成 B=l1c1十2a2+.+l,a, 多 (k,-l1)a+(k:-2)%十.+(k,-l)a=0 因为a,心2，.，心线性无关，所以系数 k一=k一=.=k,一4，=0. 由此得 。35*