60 60-713 06 -60 5 5 100 03 -11 [10 10 -7/613/6)】 01-10 -5/6 5/6 {00 0'1-1/3 1/3 得一般解 +名， = +4 其中xzx5是自由未知量。 1.3齐次线性方程组 内喜精要 常数项全为零的线性方程组 anx+agx2十：十axa=0, a231十azxg+.十ax.=0, (1) 4t. aat1+anza+.+amt.=0. 称为齐次战性方程组，衡称齐次方程组.齐次方程组总是有解的， 因为=0(i=1,2,n)就是它的一个解.这个解称为零解.不 全为零的解称为非零解.解齐次线性方程组的问题是要判断一个 齐次方程组有没有非零解，并找出解集合， 定理3齐次线性方程组(1)有非零解的充分必要条件是它 ·16·
的系数矩阵 a11a12 ag.a 的秩小于未知量个数”. 定理4如果齐次线性方程组(1)中方程的个数少于未知量 的个数，那么它有非零解， 因为齐次线性方程组的增广矩阵石比系数矩阵A多出的最 后一列全是零，所以在求解时可以对A进行初等变换。 习题1.3 1.求解下列齐次线性方程组： 「x1十2x+3xg+3x4+7x5=0, 3x1+2x2+x4十x4-3x=0, (1) x4十2xa十2x4十6x5=0, l51+4x十3x+3x4-x5=0: 「-x十4-2x,=0, x1xg-十2x=0, (2) 3x十工2十7x4-2x4=0, （x1-32一12x3-6x4=0: x1-2x2+3红3-4x4=0, (3) x十x4=0, x1+3x2 -3x4=0, x1-4x2+3x-2x4=0: 17·
2x1十x2一x-x4+x5=0, x1-x2十工3+x-2x=0, (4) ]3z1+3x2-3x1-3x4+4x5=0, 4x1十5x2-5x3-5x4+7x6=0. 2.求a使齐次线性方程组 1一x2十3x3=0, 3x1-3x+x1=0, 2x1十ax2-2xa=0. 有非零解，并求解. 解苦 1.(1)解：将系数矩阵进行初等行变换 1233 7) 1 2 3 3 2 3211-3 一4 一8 -8 -24 0122 6 1 2 2 5433-1 0-6-12 -12 -36 123371 01226 00000 l00000J 得到同解方程组 x1+2x2+3x3十3x4+7x=0, x2+2z+2x4十6x5=0. 改写成 「x1+2x2=-3x3-3x17x5, xg=-2xs-2x4-6x6 求得一般解为 ·18·
1x十x4十5x x2=-2x1-2x4-6x5 其中x,x4,x3为自由未知量、 (2)答：只有零解， (3)答：一般解为 fx1=0, 了x2=x4, x3=2x4 其中x4为自由未知量. (4)答：一般解为 4=号 4-十-吾 其中z3x4,x5为自由未知量. 2.解：对系数矩阵进行初等行变换 1-131-13）1-101 A=3-31→00-8→0a+20 2a-2{0a+2-8001 所以，当且仅当a=一2时，x(A)<3,有非零解，一般解为： ∫工=2 (x3=0. 其中x为自由未知量， 1.4数域 内喜辅要 有许多问题的讨论与考崽的数的范围有关，同一个问题在不 ·19
同的数的范围内可能有不同的结论.为了对于不同的数的范围统 地讨论一些问题，斋要引进数城的概念. 定义5设P是由一些数组成的一个集合，包含0与1.如果 P中任意两个数的和、差、积、商（除数不能为零）仍在P中，那么， P就称为一个数域， 例如，全体有理数组成的巢合Q,全体实数组成的集合R,全体 复数组成的集合C,都是数域，但是全体整数组成的集合不是数城， 加、减、乘、除四种运算统称有理运算.由数城的定义可知： 个数城中的数经过有理运算（零不能作为除数）以后，其结果仍在 这个数城中.也就是说，数城对于有理运算是封闭的. 有理数域是最小的数域，即 定理5任何一个数城都包含有理数城. 以前讨论线性方程组时，只用到系数的有理运算，所以可以把 系数限制在某一个数域P中来讨论.系数在数城P中的矩阵称为 数域P上的矩阵.数城P上矩阵的初等行变换中所用的数也必须 在P中，数城P上矩阵经初等行变换所得的梯阵及约化矩阵仍都 是数城P上的矩阵。 习题1.4 检验下列樂合是不是数域： 1.全体偶数； 2.全体正实数： 3.P={a十b√5la,b是有理数}（这个记号表示P是由全体 形如a十b√5的数组成的，其中a,b可以取任意有理数)： 4.P={a十b2十c4la,b,c是有理数. 解答 1.答：不是：2.答：不是：3.答：是，4.答：是 。20