[a1a1 au A a aa2. a 称此矩阵为线性方程组(1)的系数矩阵.如果把常数项也写成一 列，则得到一个s×(n十)矩阵 A= a2z. 称它为线性方程组(1)的增广矩阵， 增广矩阵为阶梯形矩阵的线性方程组就是阶梯形方程组，任 一个线性方程组都可经过初等行变换化为同解的阶梯形方程组 可以通过把线性方程组的增广矩阵用初等行变换化为梯阵， 来判断这个方程组有没有解，有多少解，并在有解时求出一般解 在有解时，也可将增广矩阵化为约化梯阵来求出一般解。 定理1（线性方程组有解判别定理）线性方程组(1)有解的 充分必要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵石有相同的秩。 定理2线性方程组(1)有解时，如果它的系数矩阵的秩x等 于未知数个数，则线性方程组(1)有唯一解：如果r<,则线性方 程组(1)有无穷多个解. 习量1.2 1.计算下列矩阵的秩： [2123) (1) 4135: 2012J ·11·
í3一7 6 51 -2 4-1 3/ (2) 一1 1-10 57 4-11-28 0/ 3 2-12 0 g 10-30 2 (3) 2-1-211-3. 3 13-9-1 6 3 -1 57 2-7 2.判断下列线性方程组是否有解，并在有解时求解， 2x1-x2+3x=3, x1+2x2-8x=-3, (1) 4x1-x十x=3, x1+3x3一13x3=-6, f2x1+x2-x十x4=1, (2) x1十2x2十x-x4=2, 【工1十x2十2x3十x4=3: [x1-2x2十3x3-4z4=4, xg-x十x4=一3， (3) 无1十3x2 -3x4=1, -7x4+3x4十x4=-1: (1+x2 一3x4-x5=2, 3-x2十2x1-x4=1, (4) 4x1-2x2+6x3十3x4-4x6=8, 2x1十4x2一2x3十4x4-7x3=9. ·12-
解 1.（1)解：作初等行变换 212312 12 3 4135+ -1-1-1 (2012 (0-1-1-1 2123) 0111, 0000 所以秩=2： (2)答：秩等于2： (3)答：秩等于4. 2.1)解：用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵 -1 3 /1 2 -8-3 A= -11 3-13-6 2 -8 -31 0-5 19 9 o -9 33 15 1 -5 -3 -8 -31 1 -5 -3 -6 -6 lo 0-12 -12 ·13
[12-8-3) 01-5-3 01 1 (00 0 0 得同解方程组 1十2x2-8xa=-3, xg-5x3=-3, x=1. 原方程组有唯一解(1,2,1). (2)解：对增广矩阵进行初等行变换 [21-111 A=121-12 11213 f12上-1 2 →0-3-33- 3 (0-112 1 [121-121 *011-11. 00212 得同解方程组 x十2x2+-x=2, x+工s-x4=1, 2xa+x4=2 取x。为自由未知量，将方程组改写成 名+2x+五=2+x x2十=1十4 2x3=2一工4 求得一般解为 ·14
z1=1-2x4 ✉=2. z=1-2x 其中x4为自由未知量， (3)答：无解. (4)解：将增广矩阵化为约化梯阵 10-3-121 1-1 2-1 01 A= -2 6 3 -48 2 4-2 4 一7 9 1 0 -3-1 10 -2 e 2 1 -1 10 -6 0 2 -2 10 -5 1 10 -3 1 21 0 -22 2 0 0 9 3 3 0 ·4 4 1 0 3 -1 0 0 0 0 0 0 ·15·