f)dse,)dr<e, 又因为f(x)Eh(x)￡g(x),所以 -e≤0 ()d,xdr￡0gdx<e, 即 )dxe. 再由柯西准则的充分性，证得Oh(x)dr收敛
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二、非负函数无穷积分的收敛判别法 定理11.2（非负函数无穷积分的判别法）设定义在 [a,+￥)上的非负函数f在任何[a,上可积，则 Ofr)dr收敛的充要条件是SM>0,使 "uila),f()dxE M. 证设F(w=Of(x)dx,则Of(x)dr收敛的充要 条件是imF(ω存在.由于f(x)30,当41<2时 f()dxf()dx-f()dx0 前
前页 后页 返回 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在 上的非负函数 f 在任何 收敛的充要条件是 : 证 设
从而F是单调递增的(ul[a,+Y).由单调递 增函数的收敛判别准则，limF(w)存在的充要条 uR+￥ 件是F(u)在Ia,￥)上有界，即$M>0,使 "uia,￥)，有f()dxE M. 定理11.3（比较判别法）设定义在[a,+￥)上的两个 非负函数f,9在任何有限区间[4，]上可积，且 存在G>a,满足 f(x)Eg(x),xI[G,+￥)， 前
前页 后页 返回 非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且 定理11.3 (比较判别法) 设定义在 上的两个 增函数的收敛判别准则, 从而 F (u) 是单调递增的 由单调递 存在 满足
则当Og(x)dr收敛时，òf(x)dr亦收敛； 当ò，f(c)dr发散时，0g(x)dr亦发散. 证若Og(c)dx收敛，则$M>0,”ui[a,+半)， à&r)dr￡M. 因此Of(x)dr￡Og(x)dr￡M. 由非负函数无穷积分的判别法，òf(x)dr收敛. 第二个结论是第一个结论的逆否命题，因此也成立
前页 后页 返回 证 由非负函数无穷积分的判别法, 第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立
例2判别ò，x+ +￥dx 的收敛性 解显然 c+i·由于0收敛，因此 +Y dx 十￥ dx 收敛. x6+1 例3设fx),gc)是[a,+￥)上的非负连续函数. 明若fd和dg(n收敛，则 Of(x)g(x)dr收敛 前页
前页 后页 返回 例2 判别 的收敛性. 解 显然 设 f (x), g(x) 是 上的非负连续函数. 证 例3