基础解系的概念 定义:齐次线性方程组Ax=0的一组解向量:51,52, 如果满足 ①51,52,…,5线性无关; ②方程组中任意一个解都可以表示51,52,…,的线性组合, 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系
基础解系的概念 定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：ξ 1, ξ 2, ..., ξr 如果满足 ① ξ 1，ξ 2，...，ξr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示ξ 1, ξ 2, ..., ξr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设R(A=为叙述方便 不妨设A行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组 10 0b1 b +b1x+1+…+b1m=xn=0, 0 b b, 2,n-r +b21x+1+…+b2nxn=0, B00 1 b b +b1x+1+…+b 00∴00 00 00 00 令xA1,…,xn作自由变量, 00 00 前r列 后 列 x1=-b1x+1-…一bnxn
设 R ( A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵 为 对应的齐次线性方程组 令 x , …, x 作自由变量， 11 1, 21 2, ,1 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n r n r r r n r b b b b b b B −−− = L L L L M M M M M L L L L L L 1 11 1 1, 2 21 1 2, 1 1 , 0, 0, 0. r n r n r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x x b x b x + − + − + − + + + = + + + = + + + = LL LLL 前 r 列 后 n - r 列 令 xr+1, …, xn 作自由变量， 则 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m n× L L M M M M M L L 1 11 1 1, 2 21 1 2, 1 1 , , , . r n r n r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x x b x b x + − + − + − = − − − = − − − = − − − LL LLL
=-b1x,+1-b2x,+2-…一b h2 x1=-b b,2x+2 齐次线性方 程组的通解 合x+ r+2 n=cnr,则 b1 NI-P 1C1 HI-P b 2 b C1 =c1|+c1|+…+cnr C 0 0 0 x HI-P 记作x=c11+c252+…+cnnr.(满足基础解系②)
1 11 1 1,n r n r x b c b c − − − − − L M M 令 xr+1 = c 1, xr+2 = c 2, …, xn = cn-r ，则 11 12 1,n r b b b − − − − M M M 齐 次 线性方 程 组的通解 1 11 1 12 2 1, 2 21 1 22 2 2, 1 1 2 2 , , , . r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x + + − + + − + + − = − − − − = − − − − = − − − − LL LL L 1 1 , 1 1 r r r n r n r r n n r x b c b c x c x c− − + − − − − = M M L M O 1 2 , 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 r r r n r n r b b b c c c − − − − − = + + + L M M M 记 作 x = c 1ξ1 + c 2ξ2 + … + c n-rξn-r ．（ 满足基 础解系 ② ）
b1-b2… 前r行 后n-r行 列 故R(51,2,…,5nr)=n-r 即51,2,…,5n线性无关.(满足基础解桑①) 于是的12,…,5n就是齐次线性方程组Ax=0的基础解 系
11 12 1, 21 22 2, ,1 ,2 , 1 2 ( , , , ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξ ξ ξ −−− − − − − − − − − − − = LL M M M L L LL M M M L n − r 列 前 r 行 后 n − r 行 n − r 列 故 R(ξ1, ξ2 , … , ξn-r ) = n − r ， 即 ξ1, ξ2 , … , ξn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 ξ1, ξ2 , … , ξn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解 系．